Почему чашку воды нагреть легче, чем кастрюлю

Два термометра могут показывать одно и то же

Представь две порции воды: 250 г в чашке и 1 кг в кастрюле. Сначала обе имеют температуру 20 °C. Нам нужно довести каждую до 40 °C. Вода одинаковая, начальные и конечные показания термометров тоже совпадают — легко предположить, что и энергии потребуется поровну.

Но в кастрюле в четыре раза больше воды. Каждому грамму нужно повысить температуру на те же 20 градусов, а граммов теперь вчетверо больше. Поэтому для воды в кастрюле потребуется вчетверо больше энергии. Пока рассматриваем только воду: затратами энергии на посуду, потерями в воздух и испарением пренебрегаем. Такое упрощение позволяет увидеть одну зависимость, не смешивая её с остальными.

Чашка с 0,25 кг воды и кастрюля с 1 кг воды нагреваются с 20 до 40 градусов Цельсия. Им передают 21 и 84 килоджоуля соответственно. — Рис. 1. Температура обеих порций выросла на 20 °C, но масса воды справа в четыре раза больше. Поэтому ей передали вчетверо больше энергии. Размеры сосудов условны; потери и нагрев посуды не учитываются.

Числа 21 и 84 кДж мы скоро получим расчётом. Пока важнее заметить: термометр не взвешивает воду. Одинаковая температура может быть у маленькой чашки, большой кастрюли и целого бассейна. По одному показанию нельзя узнать, сколько энергии нужно для их нагревания.

Температура описывает состояние, теплота — передачу

Температура помогает сравнить тепловое состояние тел. Если обеспечить тепловой контакт между горячим и холодным телом, энергия будет передаваться от более горячего к более холодному. При одинаковых температурах суммарная передача энергии между ними прекращается. Именно так термометр, оставленный в воде достаточно надолго, приходит с ней в тепловое равновесие.

Внутри воды молекулы непрерывно движутся и взаимодействуют. Энергия их беспорядочного движения и взаимодействия входит во внутреннюю энергию воды. При обычном нагревании жидкой воды её внутренняя энергия увеличивается. Термометр сообщает о температуре, но не показывает всю внутреннюю энергию порции.

Количество теплоты — энергия, переданная при теплообмене. Его обозначают буквой $Q$ и измеряют в джоулях. Один килоджоуль — тысяча джоулей. Говорить «воде передали 21 кДж теплоты» правильно: здесь описан процесс. А фраза «в воде содержится 21 кДж теплоты» смешивает процесс передачи с состоянием тела. Различие температуры и передачи энергии разобрано в OpenStax, «Temperature and Thermal Energy».

Энергия переходит от воды при 60 градусах к равной массе воды при 20 градусах. В изолированной модели обе порции достигают 40 градусов. — Рис. 2. Стрелка показывает направление суммарной передачи энергии при тепловом контакте. В модели равных масс воды с постоянной теплоёмкостью, без потерь и затрат на сосуды устанавливается 40 °C.

Направление передачи задаётся разностью температур, а не количеством воды. Даже маленькая горячая порция при контакте передаёт энергию большому более холодному объёму. Большая масса сама по себе не делает воду горячее. Расчёт равновесной температуры опирается на баланс полученной и отданной энергии.

Сколько градусов добавилось?

Теперь сравним две одинаковые порции воды. Первую нагревают с 10 до 30 °C, вторую — с 40 до 60 °C. Во втором случае конечная температура выше, но обе порции нагрелись на 20 градусов. В принятой школьной модели им потребуется одинаковое количество теплоты.

Изменение температуры обозначают $Δ T$ ; греческая буква дельта здесь означает разность. Из конечного значения вычитают начальное:

Δ T = T_{кон} - T_{нач} .

На общей линейной шкале от 0 до 80 градусов равные по длине стрелки показывают нагрев с 10 до 30 и с 40 до 60 градусов. Оба изменения равны 20 градусам. — Рис. 3. Стрелки одинаковой длины показывают одинаковое изменение температуры. Для равных масс одной воды в модели постоянной теплоёмкости потребуется одинаковая теплота.

Эта модель считает теплоёмкость воды постоянной в рассматриваемом диапазоне. В точных измерениях она немного меняется с температурой, но для нашего сравнения школьного приближения достаточно.

Полезный вопрос для самопроверки: «Что изменится, если у обеих порций поднять и начальную, и конечную температуру на 10 градусов?» Если в ответе фигурирует только новое конечное показание, стоит снова сравнить длины стрелок. Учителю или родителю такой вопрос поможет заметить, различает ли ученик температуру и её изменение.

Из чего складывается количество теплоты

Масса — ещё не всё. Для нагревания килограмма воды и килограмма алюминия на один градус нужна разная энергия. Свойство вещества, которое описывает это различие, называется удельной теплоёмкостью. Она показывает, сколько энергии требуется, чтобы повысить температуру одного килограмма вещества на один градус без изменения агрегатного состояния.

Для воды в школьных расчётах берут примерно 4200 Дж на килограмм и градус, для алюминия — 900. Значения зависят от вещества и условий; таблица и объяснение приведены в OpenStax, «Heat, Specific Heat, and Heat Transfer».

На повышение температуры одного килограмма воды на один градус требуется около 4200 джоулей, а одного килограмма алюминия — около 900 джоулей. — Рис. 4. Масса и изменение температуры одинаковы, вещества разные. В школьной модели вода получает примерно в 4,7 раза больше энергии, чем алюминий. Рисунки показывают вещества, а не равные объёмы.

Соединим три зависимости. Нужно учитывать, какое вещество нагреваем, какова его масса и на сколько градусов растёт температура. Эти величины связывает формула нагревания. Она применима без фазового перехода, когда удельную теплоёмкость можно считать постоянной:

Q = c m Δ T .

Здесь $c$ — удельная теплоёмкость, $m$ — масса в килограммах, $Δ T$ — изменение температуры. Единица $c$ — Дж/(кг·К). Изменение температуры на один кельвин равно изменению на один градус Цельсия, поэтому в этой формуле можно использовать разность показаний в °C.

Для чашки сначала переводим 250 г в 0,25 кг. Затем считаем энергию:

Q_{чашка} = 4200 \cdot 0, 25 \cdot (40 - 20) = 21000 Дж = 21 кДж .

Для килограмма воды при таком же нагревании:

Q_{кастрюля} = 4200 \cdot 1 \cdot 20 = 84000 Дж = 84 кДж .

Результат совпал с рассуждением до формулы: масса выросла в четыре раза — энергия тоже. Если расчёт дал бы одинаковые значения, это был бы повод проверить массу и перевод граммов в килограммы.

Почему реальная плита расходует больше

Вычисленные 84 кДж относятся только к воде. На кухне нагревается ещё и кастрюля, а часть энергии передаётся воздуху и окружающим предметам. Поэтому энергию, полученную водой, нельзя без дополнительных условий приравнять к расходу энергии нагревателя.

Из условных 100 килоджоулей энергии нагревателя 84 получает вода, 6 — сосуд, 10 — окружающая среда. Длины частей полосы пропорциональны этим величинам. — Рис. 5. Формула для воды даёт 84 кДж, но нагревателю в этом условном примере понадобилось 100 кДж. Вся энергия учтена: часть получила посуда, часть — окружающая среда.

На рисунке изображён придуманный, но согласованный баланс. Это не характеристика конкретной плиты. При другом сосуде, крышке и способе нагрева доли будут другими.

Из-за этого фразу «чашка нагреется вчетверо быстрее» надо проверять отдельно. Наш расчёт сравнивает энергию. Сравнивать время в той же пропорции можно, если обе порции получают одинаковое количество энергии за каждую секунду — то есть мощность, передаваемая именно воде, одинакова и постоянна. Одинаковые цифры на двух нагревателях сами по себе этого не гарантируют: форма посуды и потери могут изменить результат.

Когда энергия приходит, а градусы стоят на месте

У зависимости $Q = c m Δ T$ есть важная граница. Нагревая жидкую воду до кипения, мы повышаем её температуру. Но во время кипения поступающая энергия расходуется на превращение жидкости в пар.

Слева вода нагревается с 80 до 90 градусов. Справа кипящая вода получает энергию и превращается в пар, оставаясь примерно при 100 градусах при нормальном атмосферном давлении. — Рис. 6. При нагревании без фазового перехода температура растёт. При кипении чистой воды при постоянном нормальном атмосферном давлении энергия идёт на превращение жидкости в пар, а температура остаётся около 100 °C.

Пока в сосуде остаётся кипящая чистая вода и давление постоянно, термометр может показывать одно и то же, хотя энергия продолжает поступать. Около 100 °C — значение для нормального атмосферного давления; при другом давлении температура кипения будет иной. Молекулы не перестают двигаться: меняется состояние вещества. Поэтому отсутствие повышения температуры во время кипения не означает отсутствия передачи энергии. Для фазового перехода нужна другая зависимость; её смысл объясняет OpenStax, «Phase Change and Latent Heat».

Проверь понимание на новых условиях

Попробуй ответить сначала словами, а затем проверь себя ниже. В первых двух задачах рассматриваем только воду: удельная теплоёмкость постоянна, потерь и фазовых переходов нет.

Одну порцию воды массой 0,5 кг нагревают с 20 до 40 °C, другую массой 1 кг — с 20 до 30 °C. Какой порции нужно передать больше энергии?
Порция воды массой 250 г остывает с 60 до 40 °C. Сколько энергии она передаст окружающей среде? Почему итоговое число не должно быть отрицательным, если спрашивают именно величину отданной энергии?
Вода кипит при постоянном нормальном атмосферном давлении, жидкость ещё остаётся. Термометр не меняет показаний. Можно ли заключить, что нагреватель перестал передавать энергию?

Ответы с объяснением

1. Поровну: по 42 кДж. В первом случае произведение массы на изменение температуры равно $0, 5 \cdot 20 = 10$ , во втором — $1 \cdot 10 = 10$ . Удельная теплоёмкость одинакова. Большая масса здесь компенсируется меньшим повышением температуры.

2. Вода отдаст 21 кДж. Для величины отданной энергии берём положительную разность $60 - 40 = 20$ градусов: $4200 \cdot 0, 25 \cdot 20 = 21000$ Дж. Если же считать теплоту, полученную водой, её знак будет отрицательным: вода теряет энергию. Это два способа описать один процесс с разным выбором того, что считаем.

3. Нельзя. Энергия нужна для превращения воды в пар. Постоянная температура при кипении совместима с непрерывным поступлением энергии.

Для следующей тренировки измени числа в первом задании и сохрани равенство энергий. Например, 0,2 кг воды можно нагреть с 20 до 50 °C, а 0,6 кг — с 20 до 30 °C: в обоих случаях получится 25,2 кДж. Теперь составь свою пару и проверь её тем же способом.