Введение в квантовую механику и соотношение неопределенностей

Автор курса · Команда Небулс

Состояние и вероятность

В классической механике координата и скорость задают траекторию. Квантовый объект описывается иначе. Квантовое состояние — математическое описание, позволяющее вычислять вероятности возможных результатов измерения системы. В координатном представлении его задаёт волновая функция $ψ (r, t)$ .

Плотность вероятности обнаружить частицу около точки пропорциональна $∣ ψ ∣^{2}$ , а полная вероятность по всему пространству равна единице:

\int ∣ ψ ∣^{2} d V = 1

Волновая функция может быть суперпозицией состояний. Амплитуды складываются до вычисления квадрата, поэтому возникают интерференционные члены, наблюдавшиеся для волн де Бройля.

Измерение и наблюдаемая величина

Теория предсказывает набор возможных значений и их вероятности. Повторение одинаково подготовленного опыта даёт статистическое распределение; отдельный результат в общем случае не предопределён скрытой классической траекторией. После измерения состояние соответствует полученному результату и последующая эволюция начинается из него.

Среднее значение наблюдаемой величины получают по множеству одинаковых систем. Разброс не обязательно вызван плохим прибором: даже идеально подготовленное состояние может иметь фундаментальную неопределённость величины.

Соотношение неопределённостей

Соотношение неопределённостей Гейзенберга: стандартные отклонения координаты и соответствующей проекции импульса удовлетворяют $Δ x Δ p_{x} \geq ℏ/2$ .

Δ x Δ p_{x} \geq \frac{ℏ}{2}

Это не просто повреждение частицы прибором и не запрет измерять каждую величину отдельно точно. Состояние, сильно локализованное по координате, неизбежно содержит широкий набор импульсов, а состояние с определённым импульсом пространственно протяжённо. Причина связана с волновой природой и преобразованием между координатным и импульсным описаниями.

Для энергии и характерного времени изменения состояния существует оценка $Δ E Δ t ≳ ℏ/2$ , но время в обычной квантовой механике не является наблюдаемым оператором точно того же типа, что координата.

Слева узкое распределение координаты и широкое распределение импульса, справа наоборот. Это иллюстрирует соотношение неопределённостей.

Частица в ограниченной области

В бесконечно глубокой одномерной яме длиной $L$ волна должна обращаться в ноль на границах. Помещаются только стоячие волны с дискретными энергиями:

E_{n} = \frac{π ^{2} ℏ ^{2} n ^{2}}{2 m L ^{2}}, n = 1, 2, 3, \dots

Минимальная энергия не равна нулю: полностью покоящаяся и одновременно заключённая в конечной области частица нарушила бы соотношение неопределённостей. Дискретность напоминает стационарные уровни атома, но теперь следует из граничных условий волновой функции.

Туннелирование и классический предел

Волновая функция может проникать в область, где классической частице не хватило бы энергии преодолеть потенциальный барьер. Поэтому существует ненулевая вероятность оказаться по другую сторону. Туннелирование объясняет альфа-распад, работу сканирующего туннельного микроскопа и часть процессов в полупроводниках.

Квантовая теория не отменяет классическую, а задаёт её предел. Для массивных тел взаимодействие с окружением быстро разрушает наблюдаемую интерференцию, относительные неопределённости малы, и траектории становятся отличным приближением. На атомных масштабах вероятностная структура принципиальна и подтверждается экспериментом.

Квантовый компьютер использует управляемые состояния кубитов, их суперпозицию, интерференцию и запутанность. Измерение даёт обычные классические результаты, а алгоритм подготавливает распределение, из которого нужный ответ получается с высокой вероятностью. Это не возможность прочитать сразу все варианты из суперпозиции: преимущества зависят от задачи, а ошибки и взаимодействие с окружением необходимо подавлять.

Подготавливаем формулы…