Скаляры, векторы и механическое движение

Автор курса · Команда Небулс

Зачем физике числа и направления

Представьте два автомобиля, которые разъезжаются в разные стороны. Оба спидометра показывают $20 м / с$ , но через секунду автомобили окажутся в разных местах. Число отвечает на вопрос «насколько быстро?», однако для описания движения нужен ещё один ответ: «куда?». Именно это различие приводит нас к скалярам и векторам — математическим понятиям, которыми физика пользуется для описания измеряемых величин.

Скалярная физическая величина задаётся числовым значением и единицей измерения; пространственное направление ей не требуется. Масса рюкзака $3 кг$ , длительность прогулки $10 мин$ и температура воздуха $- 5^{\circ} C$ — примеры скалярных величин. При повороте рюкзака его масса не становится «массой на север», а у длительности прогулки нет стрелки направления. Скаляр при этом не обязан быть положительным: минус в записи температуры не превращает её в вектор.

Векторная величина задаётся модулем и направлением. Модуль показывает величину вектора и всегда неотрицателен; для ненулевого вектора нужно также указать, куда он направлен. Например, « $20 м / с$ на восток» и « $20 м / с$ на запад» задают разные скорости с одинаковыми модулями. Перемещение, скорость и ускорение — векторные величины; время, масса, температура и пройденный путь — скалярные.

Слева каждое показание уже содержит всё необходимое для задания величины. Справа одинакового показания спидометра недостаточно: стрелка добавляет направление. Поэтому фраза «скорости одинаковые» требует уточнения — равны только их модули или совпадают и направления?

Как читать и складывать векторы

В школьной геометрии вектор изображают направленным отрезком: у него есть начало и конец, отмеченный наконечником стрелки. Запись $a$ обозначает сам вектор, а $a = ∣ a ∣$ — его модуль. Вектор $A B$ направлен от точки $A$ к точке $B$ ; запись $B A$ задаёт противоположное направление. Длина стрелки изображает модуль в выбранном масштабе: если один отрезок сетки соответствует единице, стрелка длиной в четыре таких отрезка имеет модуль $4$ .

Два геометрических вектора равны, когда у них одинаковые модули и направления. На рисунке равные векторы могут начинаться в разных точках: параллельный перенос стрелки не меняет этих двух свойств. У противоположного вектора $- a$ модуль тот же, а направление обратное; у $2 a$ направление сохраняется, а модуль удваивается. Нулевой вектор имеет модуль $0$ и не имеет определённого направления — его начало и конец совпадают.

Знак минус перед вектором означает разворот стрелки, а не «отрицательную длину». В физическом рисунке к модулю и направлению добавляется смысл: что именно изображает стрелка и к какому телу или положению она относится. Поэтому переносить геометрическую стрелку при сложении можно, но переносить вместе с ней реальное начальное положение тела нельзя.

Чтобы сложить $a$ и $b$ по правилу треугольника, начало второй стрелки совмещают с концом первой. Сумма $a + b$ идёт от начала первой к концу второй. Если обе стрелки отложить от общего начала, ту же сумму даст диагональ построенного на них параллелограмма. Это две геометрические конструкции одного и того же результата.

В обоих рисунках горизонтальная стрелка имеет длину $3$ , вертикальная — $4$ , а диагональ — $5$ . Поэтому модуль суммы здесь равен $5$ , хотя сумма модулей равна $3 + 4 = 7$ . При сложении векторов направления так же существенны, как длины: например, $a + (- a) = 0$ . Вычитание сводится к тому же построению: $a - b = a + (- b)$ .

Проекции: как перейти от стрелок к числам

Рисунок помогает представить вектор, а для вычислений удобно разложить его по выбранным осям. Проекция $a_{x}$ показывает, на сколько единиц и в какую сторону вдоль оси $x$ сместится конец стрелки относительно её начала. Аналогично $a_{y}$ описывает смещение вдоль оси $y$ . Если ось $x$ направлена вправо, а ось $y$ — вверх, то стрелка на три единицы вправо и четыре вверх имеет проекции $a_{x} = 3$ и $a_{y} = 4$ .

Проекция может быть положительной, отрицательной или нулевой. У направленной влево и вверх стрелки на правом рисунке $a_{x} = - 3$ , но $a_{y} = 4$ ; у вертикальной стрелки горизонтальная проекция была бы равна нулю. Модуль в обоих нарисованных случаях одинаков: прямоугольные треугольники имеют катеты длиной $3$ и $4$ . По теореме Пифагора для взаимно перпендикулярных осей получаем:

a = a_{x}^{2} + a_{y}^{2}

Если угол $α$ отсчитывать от положительного направления оси $x$ против часовой стрелки, те же проекции записываются как $a_{x} = a cos α$ и $a_{y} = a sin α$ . Знаки синуса и косинуса автоматически учитывают направление стрелки при таком выборе угла. При развороте самой оси соответствующая проекция изменит знак, хотя вектор останется прежним. Значит, отрицательная проекция говорит о направлении относительно выбранной оси, а не об отрицательном модуле.

Векторы можно складывать и без геометрического построения: отдельно складывают их проекции на каждую ось. Для суммы $c = a + b$ получаем $c_{x} = a_{x} + b_{x}$ и $c_{y} = a_{y} + b_{y}$ . Так геометрическая операция со стрелками превращается в обычные действия с числами. Теперь этот математический аппарат можно связать с наблюдаемым движением.

От геометрического вектора к движению тела

В математическом примере мы сказали «три единицы вправо и четыре вверх». В физике нужно уточнить: какое тело переместилось, относительно чего мы наблюдаем движение, чему равна единица длины и за какое время произошло изменение. Пусть один шаг сетки обозначает $1 м$ на полу, а начало координат закреплено у угла комнаты. Тогда геометрическая стрелка с проекциями $3$ и $4$ становится вектором перемещения с проекциями $3 м$ и $4 м$ , а её модуль равен $5 м$ . Мы сохранили правила математики и придали числам измеряемый физический смысл.

Механическое движение — изменение положения тела со временем относительно других тел. Пассажир неподвижен относительно вагона, но движется относительно станции, поэтому описание начинается с выбора тела отсчёта. Тело отсчёта — тело, относительно которого определяют положение и движение других тел. Тело отсчёта, связанная с ним система координат и часы вместе образуют систему отсчёта. Координатные оси позволяют назвать положение, а часы — сопоставить положения в разные моменты.

Реальное тело имеет размеры и форму, однако не все его свойства существенны в каждой задаче. Поезд на перегоне можно считать материальной точкой, если нас интересует его движение между городами, но при расчёте времени полного прохождения мимо столба нужно учитывать длину поезда. Материальная точка — модель тела, размерами которого в данной задаче можно пренебречь. После такого упрощения положение тела задаётся одной точкой, и к нему применим наш геометрический рисунок.

Стрелка от начала координат $O$ к положению тела называется радиус-вектором $r$ . На рисунке $r_{1}$ задаёт начальное положение $A$ , а $r_{2}$ — конечное положение $B$ ; оранжевая стрелка соединяет сами положения. Радиус-вектор отвечает на вопрос «где находится тело относительно начала координат?», а эта третья стрелка — «как изменилось положение?». При изменении начала координат радиус-векторы изменятся, но стрелка от $A$ к $B$ сохранится.

Если движение происходит вдоль прямой, достаточно одной координаты $x$ ; на плоскости нужны $x$ и $y$ , а в пространстве добавляется $z$ . Закон движения — зависимость координат от времени, например $x (t)$ . Здесь запись из математики описывает результат физических наблюдений: по времени можно определить положение тела. При этом знак координаты указывает, с какой стороны от начала координат находится тело, и сам по себе не говорит, куда оно движется.

Траектория, путь и перемещение

Зная только начальное и конечное положения, ещё нельзя сказать, как именно тело двигалось между ними. Траектория — линия, которую описывает движущаяся точка; путь $L$ — длина пройденного участка траектории. Путь является скаляром: у него есть значение в метрах, но нет направления. Он не бывает отрицательным и по мере движения увеличивается, а во время остановки остаётся неизменным.

Вектор перемещения $Δ r$ направлен из начального положения в конечное и не повторяет изгибы траектории. Рисунок с радиус-векторами показывает, что $r_{1} + Δ r = r_{2}$ : сначала мы идём от начала координат к $A$ , затем от $A$ к $B$ . Применяя уже знакомое правило вычитания векторов, получаем:

Δ r = r_{2} - r_{1}

Для положений на координатной сетке это означает $Δ x = 5 - 2 = 3 м$ и $Δ y = 5 - 1 = 4 м$ . Модуль перемещения равен $5 м$ . Если тело сначала прошло $3 м$ вправо, а затем $4 м$ вверх, его путь составил $7 м$ — мы получили физический смысл рисунка со сложением векторов. Если же оно прошло прямо из $A$ в $B$ , путь равен $5 м$ при том же перемещении.

После полного круга по дорожке длиной $400 м$ путь равен $400 м$ , а перемещение равно нулю: начальное и конечное положения совпали. Нулевое перемещение не означает, что тело всё время покоилось. Вообще путь не меньше модуля перемещения; они совпадают только при движении по прямой без изменения направления. Развороты и обходы увеличивают путь, но не обязательно увеличивают расстояние от старта.

Положение на траектории нужно сопоставлять со временем. Равномерное движение — движение, при котором тело проходит равные пути за любые равные промежутки времени; неравномерное движение — движение, при котором это условие не выполняется. По форме траектории нельзя определить равномерность: по прямой можно двигаться с разной быстротой, а по кругу — с постоянной. Одна фотография показывает лишь положение; нужны последовательные положения с известными моментами времени и сравнение путей за равные интервалы. Несколько равных путей в опыте подтверждают равномерность на исследованных интервалах, но сами по себе ещё не доказывают её для любого более короткого интервала.

Скорость: направление тоже меняется

Пока мы описывали изменение положения без учёта того, сколько времени оно заняло. Если одинаковое перемещение произошло за $2 с$ и за $10 с$ , движение было различным по быстроте. Средняя скорость по перемещению показывает, какое перемещение в среднем приходится на единицу времени:

v_{ср} = \frac{Δ r}{Δ t}

Здесь $Δ t$ — положительная длительность рассматриваемого промежутка. Деление вектора на положительное число меняет его модуль и сохраняет направление: средняя скорость направлена так же, как суммарное перемещение. Если переход из $A$ в $B$ на нашей сетке занял $2 с$ , то $v_{ср, x} = 1, 5 м / с$ , $v_{ср, y} = 2 м / с$ , а модуль средней скорости равен $2, 5 м / с$ . Единица «метр в секунду» появляется потому, что длину делят на время.

Отдельно определяют среднюю путевую скорость $\overset{v}{ˉ} = L /Δ t$ — скаляр, основанный на всём пройденном пути. Если полный круг длиной $400 м$ занял $80 с$ , средняя путевая скорость равна $5 м / с$ , а средняя скорость по перемещению — нулевому вектору. Эти величины отвечают на разные вопросы, поэтому среднюю путевую скорость нельзя в общем случае считать модулем средней скорости по перемещению.

Чтобы описать движение в конкретный момент, интервал времени мысленно уменьшают. Предел средней скорости на всё более коротком интервале называют мгновенной скоростью $v$ . При движении по гладкой траектории она направлена по касательной в сторону движения, а её модуль показывает быстроту в этот момент. Именно модуль мгновенной скорости показывает спидометр автомобиля.

На повороте спидометр может всё время показывать $5 м / с$ , хотя направление скорости меняется. Стрелки в точках $A$ и $B$ имеют одинаковую длину, но не равны как векторы. Так первоначальное различие между числом и направлением объясняет физический факт: постоянная быстрота ещё не означает постоянной векторной скорости.

При решении задачи сначала выбирают систему отсчёта, отмечают положения тела и направления стрелок, затем записывают проекции и связывают их со временем. Формулы после этого становятся записью понятного рисунка. Начать практику удобно с наблюдения равномерного движения: сравните положения тела через равные промежутки времени и отдельно назовите его путь, перемещение и направление скорости.

Подготавливаем формулы…