Прямолинейное равномерное движение

Движение с постоянной скоростью

После выбора системы отсчёта и координат простейшей моделью становится движение по прямой с неизменной скоростью. Прямолинейное равномерное движение — движение по прямой, при котором за любые равные промежутки времени тело совершает одинаковые перемещения. Постоянны и модуль скорости, и её направление; поэтому вектор скорости не меняется.

Для интервала $\Delta t$ скорость связывает перемещение и время:

$$\vec{v}=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$$

Вдоль выбранной оси $x$ это равенство превращается в $v_x=\Delta x/\Delta t$. Проекция $v_x$ может быть положительной или отрицательной: знак показывает направление относительно оси, а модуль $|v_x|$ показывает быстроту движения. Если тело покоится в выбранной системе отсчёта, его скорость равна нулю, что можно считать частным случаем равномерного движения.

Четыре положения тела через одну секунду расположены на равных расстояниях два метра.

Координата в любой момент

За время $t$, отсчитанное от начального момента, проекция перемещения равна $v_{x}t$. Если в начале тело имело координату $x_0$, закон движения принимает вид:

$$x(t)=x_0+v_{x}t$$

Это уравнение содержит всю информацию о прямолинейном равномерном движении. Начальная координата задаёт положение при $t=0$, а коэффициент при времени задаёт скорость и направление. Например, при $x_0=12\text{м}$ и $v_x=-4\text{м/с}$ через $5\text{с}$ тело окажется в точке $x=-8\text{м}$. Отрицательная конечная координата означает лишь положение слева от начала координат, а не «отрицательный путь».

Если начало отсчёта времени выбрано не в нуле, удобна более общая запись $x=x_0+v_x(t-t_0)$. Смысл остаётся тем же: изменение координаты пропорционально прошедшему времени. Из уравнения также видно, что график $x(t)$ — прямая, а знак её наклона совпадает со знаком $v_x$.

Путь и единицы скорости

При движении по прямой без разворота путь равен модулю перемещения:

$$L=|\Delta x|=|v_x|t$$

Если обозначить постоянную быстроту через $v=|v_x|$, получаем $L=vt$, а при $v>0$ время движения $t=L/v$. Скорость равномерного движения по пути — отношение пройденного пути ко времени, за которое этот путь пройден. Значение $3\text{м/с}$ означает, что за каждую секунду тело проходит $3\text{м}$. Чтобы сравнить быстроту двух движений, недостаточно сравнить только пути: нужно учитывать и затраченное время.

Если тело меняет направление, весь процесс уже нельзя описать одним постоянным вектором скорости. Тогда движение разбивают на участки: для каждого записывают своё уравнение, а пути участков складывают. Перемещения при этом складывают с учётом знаков, поэтому суммарный путь обычно больше модуля суммарного перемещения.

В СИ скорость измеряют в метрах в секунду. При переходе от километров в час к метрам в секунду значение делят на $3,6$, а при обратном переходе умножают на $3,6$. Так, $72\text{км/ч}=20\text{м/с}$. Перед подстановкой в одну формулу все длины и времена нужно привести к согласованным единицам.

Средняя скорость за весь путь

На практике движение может включать разные скорости и остановки. Средняя путевая скорость — отношение всего пройденного пути ко всему времени рассматриваемого движения, включая остановки. В начальных задачах о пути её обычно называют просто средней скоростью. Для общего пути $L_{\text{общ}}$ и общего времени $t_{\text{общ}}$ она равна:

$$v_{\text{ср}}=\frac{L_{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}}$$

Время отдыха входит в знаменатель, хотя путь за время отдыха не увеличивается. Например, велосипедист проехал $1200\text{м}$ за $4\text{мин}$ и затем отдыхал $1\text{мин}$: за весь пятиминутный интервал его средняя скорость равна $1200/300=4\text{м/с}$, а на участке движения — $1200/240=5\text{м/с}$. Среднюю скорость нельзя автоматически находить как среднее арифметическое скоростей участков: сначала складывают пути, отдельно складывают времена и только затем делят. Это величина по пути; скорость по перемещению учитывает ещё и направление и отвечает на другой вопрос.

Как читать график пути

График пути показывает, сколько всего пройдено к каждому моменту: по горизонтальной оси откладывают время $t$, по вертикальной — накопленный путь $L$, подписывая единицы и масштаб. При постоянной быстроте и отсчёте пути от нуля график $L=vt$ является прямой, проходящей через начало координат. На движущемся участке быстроту находят как отношение прироста пути к длительности участка, $v=\Delta L/\Delta t$; более крутой подъём при одинаковых масштабах осей соответствует большей быстроте.

Горизонтальный участок означает остановку: время растёт, а путь не меняется. Если он продолжается от $t_1$ до $t_2$, длительность остановки равна $t_2-t_1$. График пути не снижается даже при возвращении назад, поскольку каждый новый участок добавляется к общей длине маршрута. Это отличает его от графика координаты $x(t)$, который может убывать, когда тело движется против выбранной оси; горизонтальная линия не изображает горизонтальную дорогу.

В задаче сначала выясняют, относится ли постоянная скорость ко всему движению или только к одному участку, затем выбирают нужные путь и время. Единицы согласуют перед вычислением: минуты переводят в секунды умножением на $60$, а найденные секунды при необходимости делят на $60$. После вычисления проверяют смысл: при той же скорости больший путь должен требовать большего времени, а остановка должна уменьшать среднюю скорость за весь интервал.

Встреча и опережение

Для нескольких тел записывают отдельный закон движения для каждого в одной и той же системе координат. Момент встречи определяется условием равенства координат, а не равенства пройденных путей:

$$x_1(t)=x_2(t)$$

Пусть два пешехода находятся в точках $x_{01}=0$ и $x_{02}=300\text{м}$ и идут навстречу со скоростями $2\text{м/с}$ и $-1\text{м/с}$. Их координаты равны $x_1=2t$ и $x_2=300-t$. Условие встречи даёт $2t=300-t$, откуда $t=100\text{с}$ и $x=200\text{м}$.

Та же идея работает для движения в одном направлении: более быстрое тело догонит медленное, когда их координаты сравняются. Выражение «скорость сближения» удобно для устного рассуждения, но уравнения координат надёжнее: они автоматически учитывают начальные положения и знаки скоростей.

В работе Изучение прямолинейного равномерного движения можно менять условия движения и измерять положение тела. Проверьте по наблюдениям, какое отношение остаётся постоянным; затем сравните вывод с моделью этой подтемы.