Скорость света и специальная теория относительности

Автор курса · Команда Небулс

Где перестаёт работать сложение Галилея

Для поездов и мячей достаточно обычного сложения скоростей. Но если источник света движется навстречу наблюдателю, измеренная скорость света в вакууме не становится равной сумме скорости источника и $c$ . Специальная теория относительности, или СТО, описывает пространство, время, энергию и импульс с учётом этого экспериментального свойства.

Принцип относительности Эйнштейна: законы физики имеют одинаковую форму во всех инерциальных системах отсчёта. Второй постулат утверждает, что модуль скорости света в вакууме одинаков во всех таких системах и не зависит от движения источника и наблюдателя. Речь идёт о вакууме, а не о скорости распространения света в веществе. СТО не вводит привилегированную неподвижную систему.

В системе световых часов импульс идёт вертикально между зеркалами; для движущегося относительно часов наблюдателя путь между теми же отражениями состоит из наклонных отрезков.

Одновременность и часы

Событие характеризуется местом и временем. Чтобы сравнить удалённые события, нужны часы и правило их синхронизации; одного зрительного впечатления недостаточно, потому что свету требуется время. Два события, одновременные в одной системе, могут оказаться неодновременными в другой, движущейся относительно первой.

Световые часы позволяют понять замедление времени: в собственной системе свет проходит между зеркалами по прямой, а для наблюдателя, относительно которого часы движутся поперёк этого пути, траектория света между теми же событиями длиннее. Скорость света одинакова, поэтому интервал между этими событиями в движущейся относительно часов системе больше:

Δ t = γ Δ τ, γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}}

Собственное время $Δ τ$ измеряют одними часами, присутствующими при обоих событиях в одной точке своей системы. При $v = 0, 6 c$ коэффициент $γ = 1, 25$ : одному собственному промежутку $1 с$ соответствует $1, 25 с$ координатного времени. Это различие измерений, а не неисправность часов.

Длина и скорость

Длину движущегося стержня определяют по положениям его концов в один момент времени именно в системе наблюдателя. Вдоль направления движения она связана с собственной длиной $l_{0}$ :

l = \frac{l _{0}}{γ}

Поперечные размеры в таком сравнении не сокращаются. Нельзя сравнивать положения концов, снятые в разные моменты, и называть полученное расстояние измеренной длиной. Различие одновременности объясняет, почему два наблюдателя могут по-разному сравнивать длины и темп удалённых часов без противоречия.

Для движения вдоль одной прямой релятивистское сложение скоростей имеет вид $v = (u + v^{'}) / (1 + u v^{'} / c^{2})$ . Здесь $u$ — скорость подвижной системы относительно выбранной, а $v^{'}$ — скорость тела в подвижной системе; все скорости берут с их знаками вдоль общей оси. При $u, v^{'} ≪ c$ знаменатель почти равен единице и возвращается правило Галилея. Подстановка $v^{'} = c$ даёт снова $v = c$ , а не скорость выше света.

Энергия покоя и импульс

Энергия покоя тела массы $m$ равна $E_{0} = m c^{2}$ . Масса здесь — инвариантная масса, а не величина, возрастающая при разгоне. Для свободной массивной частицы:

E = γ m c^{2}, p = γ m v, E_{k} = (γ - 1) m c^{2}

При малой скорости последняя формула приближается к $m v^{2} /2$ . При приближении скорости массивной частицы к $c$ её энергия неограниченно возрастает, поэтому конечной энергией нельзя разогнать её до скорости света. Общая связь энергии и импульса:

E^{2} = p^{2} c^{2} + m^{2} c^{4}

Для фотона масса покоя равна нулю и $E = p c$ , хотя энергия и импульс не равны нулю. Если при реакции уменьшается суммарная масса покоя продуктов, соответствующая энергия переходит в их движение и излучение. Именно так сравнивают энергетические балансы ядерных процессов.

Применимость теорий

Классическая механика остаётся удобной и точной при скоростях намного меньше $c$ . В ускорителях частиц необходимы релятивистские формулы, а наблюдение времени жизни быстрых нестабильных частиц проверяет замедление времени. Гравитационные эффекты времени и движение в сильном поле требуют уже общей теории относительности; СТО сама по себе не описывает всё действие тяготения.

Классический предел этой теории — уже изученная относительность движения в механике. Связь энергии с массой затем используется при расчёте ядерных реакций, где классической формулы энергии покоя не существует.

Подготавливаем формулы…