Число, цифра и разряд: десятичная запись и римская нумерация

На табло написано 404. В записи три знака, но они обозначают одно число. Две одинаковые цифры 4 имеют разное значение: первая обозначает четыре сотни, последняя — четыре единицы. Чтобы читать и записывать числа, нужно различать количество, знак и место знака в записи.

В записи 404 первая четвёрка обозначает четыре сотни, нуль — отсутствие десятков, последняя четвёрка — четыре единицы. Число равно 400 + 0 + 4. — Рис. 1. Одинаковые цифры 4 дают разные слагаемые: 400 и 4. Нуль сохраняет место десятков; все три цифры записывают одно число — 404.

Число и его запись

Цифра — знак для записи чисел. В десятичной системе используются десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Число выражает количество или результат счёта; цифры служат для его записи. Число семь записывается одной цифрой 7, число семнадцать — двумя цифрами 1 и 7. Разные записи могут обозначать одно и то же число: например, 12 и римская запись XII.

Десятичная система счисления — позиционная система, в которой значение цифры зависит от её места, а каждая разрядная единица в десять раз больше предыдущей.

Десять единиц образуют десяток, десять десятков — сотню, десять сотен — тысячу. Поэтому разряды удобно читать справа налево: единицы, десятки, сотни, тысячи. Цифра показывает, сколько единиц соответствующего разряда взято.

Рис. 2. Одно число складывается из разрядных слагаемых; нуль сохраняет место отсутствующих десятков.

Разряды и классы

Число 3407 содержит три тысячи, четыре сотни, ни одного десятка и семь единиц. Его разложение показывает значение каждой цифры:

3407 = 3 \cdot 1000 + 4 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 7.

Нуль внутри записи нельзя просто убрать: получится 347, другое число. Зато нули перед первой ненулевой цифрой не меняют значение: записи 007 и 7 обозначают одно число. В обычной записи натурального числа начальные нули не пишут; в кодах и номерах они могут быть частью условного обозначения.

Разряды объединяют по три в классы, начиная справа: класс единиц, класс тысяч, класс миллионов, класс миллиардов. Пробелы между классами облегчают чтение. Запись 6 024 105 читается «шесть миллионов двадцать четыре тысячи сто пять»; отсутствующие разряды сохраняются нулями.

В записях 37, 370 и 3700 цифры 3 и 7 занимают последовательно более крупные разряды. — Рис. 3. При умножении целого неотрицательного числа на 10 значение каждой его цифры увеличивается в десять раз.

Проверьте себя: сколько сотен всего в числе 3407, а какая цифра стоит в разряде сотен? Полных сотен 34, но цифра сотен — 4. Эти вопросы различаются: первый учитывает и тысячи, второй спрашивает только об одном месте записи.

Римская нумерация

В римской записи используют знаки с фиксированными значениями. Здесь нет разрядов единиц, десятков и сотен, подобных десятичным: X обозначает десять и в XII, и в XX. Порядок знаков всё же важен, потому что иногда означает вычитание.

Знак	I	V	X	L	C	D	M
Значение	1	5	10	50	100	500	1000

Обычно значения складывают: VIII — это $5 + 1 + 1 + 1 = 8$ , LXII — $50 + 10 + 1 + 1 = 62$ . В современной стандартной записи используют шесть вычитательных пар: IV, IX, XL, XC, CD, CM. Меньшее значение в каждой такой паре вычитают из большего: IX обозначает $10 - 1 = 9$ . Поэтому 49 записывают XLIX, а не IL: нельзя произвольно вычитать любой меньший знак из большего. В обычных записях чисел до 3999 знаки I, X, C, M повторяют подряд не более трёх раз, а V, L, D не повторяют.

Разберём запись MMXXIV. Два знака M дают 2000, два X — 20, пара IV — 4. Значит, MMXXIV обозначает 2024. Обратно число 1986 разбивается на 1000, 900, 80 и 6, поэтому его запись — MCMLXXXVI. В этой системе нет обычной цифры нуль; для письменных вычислений десятичная позиционная запись значительно удобнее.