Нуль, натуральный ряд и сравнение чисел на числовом луче

Если в коробке пять карандашей, при счёте произносят 1, 2, 3, 4, 5. Последнее число показывает количество карандашей. Если коробка пуста, нужен нуль: он обозначает отсутствие предметов, а не начало обычного счёта.

Натуральный ряд и нуль

Натуральные числа — числа, которые используют при счёте предметов: 1, 2, 3, 4 и так далее.

В этом курсе натуральный ряд начинается с 1; нуль рассматривается отдельно. В некоторых математических текстах используют другую договорённость и включают нуль в натуральные числа, поэтому там нужно проверять принятое обозначение. Наше множество натуральных чисел обозначается $N$ .

У каждого натурального числа есть следующее: оно на единицу больше. Наименьшее натуральное число — 1, а наибольшего нет: к любому можно прибавить 1. Предыдущее натуральное число есть у каждого, кроме 1. Нуль на единицу меньше 1, но по принятой здесь договорённости натуральным не является.

Числовой луч

Чтобы показать числа на рисунке, отметим начало O, выберем направление вправо и единичный отрезок. Точка 1 находится на расстоянии одной единицы от O, точка 2 — двух единиц, точка 3 — трёх. Получается числовой луч с одинаковым расстоянием между соседними целыми отметками.

Координата точки на числовом луче — число, показывающее её расстояние от начала луча в выбранных единицах.

На числовом луче отмечены нуль, натуральные числа и точки A с координатой 3 и B с координатой 7. — Рис. 1. Число 7 расположено правее числа 3, поэтому 7 больше 3.

Запись $A (3)$ означает, что координата точки A равна 3. На рисунке единичный отрезок можно сделать длиннее или короче, но он должен оставаться одинаковым на всём луче. Пропущенная подпись не означает пропущенного числа: если подписаны 0, 2, 4, то число 3 всё равно находится посередине между 2 и 4.

Как сравнивать числа

Из двух различных чисел на числовом луче больше то, которое расположено правее.

Знаки $<$ и $>$ читают «меньше» и «больше»; открытая сторона знака обращена к большему числу. Поэтому $3 < 7$ , $7 > 3$ , а $3 = 3$ . Нуль меньше любого натурального числа. Знак $\leq$ означает «меньше или равно», а $\geq$ — «больше или равно».

Когда числа велики, строить длинный луч необязательно. Для обычных десятичных записей без начальных нулей сначала сравнивают количество цифр. Если оно одинаково, сравнивают цифры слева направо до первого различия. Это работает потому, что единица старшего разряда больше всех возможных добавлений из младших разрядов: например, тысяча больше 999.

Сравнение 4728 и 4751: тысячи и сотни совпадают, первое различие находится в десятках. — Рис. 2. Первое различие слева решает сравнение: два десятка меньше пяти десятков, поэтому 4728 меньше 4751.

Например, $998 < 1002$ : у второго числа четыре цифры, у первого три. В паре 4728 и 4751 тысячи и сотни совпадают, но $2 < 5$ в разряде десятков; значит, $4728 < 4751$ . До сравнения единиц дело уже не доходит. Сравнивать только последние цифры было бы ошибкой.

Расстояние между отметками

От точки 3 до точки 7 нужно пройти четыре единичных отрезка, поэтому расстояние равно $7 - 3 = 4$ . Здесь считают промежутки, а не подписи: пять отметок 3, 4, 5, 6, 7 образуют четыре промежутка. Между двумя целыми координатами большее число минус меньшее даёт расстояние в выбранных единицах.

Проверьте утверждение: «между числами 4 и 5 на луче ничего нет». Между ними нет натурального числа, но есть точки луча. Позже эти точки получат дробные координаты. Луч помогает увидеть, почему числа для счёта — только начало более широкой числовой системы.