Простые и составные числа. Разложение на простые множители

Некоторые количества можно разложить на прямоугольные группы несколькими способами, а другие — только в один ряд. Например, 12 точек образуют массивы $2\cdot 6$ и $3\cdot 4$, но 7 точек нельзя разложить в несколько одинаковых рядов, содержащих больше одной точки. Это различие лежит в основе простых чисел.

Простое, составное и единица

Простое число — натуральное число, имеющее ровно два положительных делителя: 1 и само это число.

Составное число — натуральное число, имеющее больше двух положительных делителей.

Числа 2, 3, 5, 7, 11, 13 — простые. Числа 4, 6, 8, 9, 10, 12 — составные. У числа 1 только один положительный делитель, поэтому оно не простое и не составное. Нуль по принятой в курсе договорённости не является натуральным числом и тоже не относится ни к одной из этих двух групп.

Число 2 — единственное чётное простое число. Любое большее чётное число делится на 1, на 2 и на себя, то есть имеет как минимум три делителя. Среди нечётных чисел встречаются и простые, и составные: например, 21 составное, потому что $21=3\cdot 7$.

Как проверить простоту

Чтобы доказать, что число составное, достаточно найти хотя бы один делитель, отличный от 1 и самого числа. Для 91 таким делителем служит 7: $91=7\cdot 13$. То, что число не делится на 2, 3 или 5, ещё не делает его простым.

Проверять все числа до самого исследуемого числа не нужно. Если составное число равно произведению двух множителей, квадрат меньшего множителя не превосходит это произведение: второй множитель как минимум такой же большой. Поэтому достаточно проверить возможные делители, квадраты которых не больше исследуемого числа.

Например, проверим 37. Так как $6\cdot 6<37<7\cdot 7$, достаточно проверить делители 2, 3, 4, 5, 6. Число не делится на 2, 3 и 5 по признакам делимости; делимость на 4 или 6 потребовала бы делимости на 2. Значит, дополнительных делителей нет и 37 простое. В 8 классе эту границу будет удобно записывать как квадратный корень из числа.

Разложение на простые множители

Разложить натуральное число больше 1 на простые множители — представить его произведением простых чисел.

Если множитель составной, его можно разложить дальше. Для 84 начнём с $84=7\cdot 12$, затем $12=3\cdot 4$ и $4=2\cdot 2$. Когда на концах всех ветвей останутся простые числа, разложение закончено.

$$84=2\cdot 2\cdot 3\cdot 7.$$

Можно начать иначе: $84=2\cdot 42$, $42=2\cdot 21$, $21=3\cdot 7$. Получатся те же простые множители. Их повторения важны: две двойки нельзя заменить одной, потому что произведение изменится. После знакомства со степенью повторяющийся множитель записывают короче: $84=2^2\cdot 3\cdot 7$.

Любое натуральное число больше 1 можно разложить на простые множители; набор множителей с учётом повторений единственен, если не учитывать их порядок.

Сам процесс разложения понятен: составные множители заменяются меньшими, и работа не может продолжаться бесконечно среди положительных целых чисел. Единственность — отдельная теорема, здесь используемая без полного доказательства. Два разных дерева для 84 показывают её действие в одном примере, но сами по себе не доказывают её для всех чисел.

Зачем сохранять все множители

Разложим 180 последовательным делением: $180:2=90$, $90:2=45$, $45:3=15$, $15:3=5$, $5:5=1$. Получаем $180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$. Обратное перемножение даёт 180 и проверяет результат. Последнюю единицу в произведение простых множителей не включают: она не простая и ничего не добавляет к разложению.

Такое представление пригодится для общих делителей, кратных и сокращения дробей. Проверьте, завершено ли разложение $60=2\cdot 3\cdot 10$. Нет: 10 составное, поэтому нужно продолжить и получить $60=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$. Верное произведение ещё не обязательно является разложением на простые множители.