Делители, кратные, свойства и признаки делимости

Двенадцать карточек можно разложить в два ряда по шесть, в три ряда по четыре или в один ряд по двенадцать. Во всех случаях ряд заполнен целиком. Попытка сделать пять одинаковых полных рядов оставит лишние карточки: 12 не делится на 5 без остатка.

Делители и кратные

Натуральное число $d$ называют делителем натурального числа $a$ , если $a$ делится на $d$ без остатка. Число $a$ в этом случае называют кратным $d$ .

В этом подразделе ищем положительные делители положительных целых чисел. Например, делители 12 — числа 1, 2, 3, 4, 6, 12. Их удобно находить парами: $1 \cdot 12$ , $2 \cdot 6$ , $3 \cdot 4$ . Пары описывают все прямоугольные раскладки двенадцати предметов.

Три прямоугольных массива по 12 точек имеют размеры 1 на 12, 2 на 6 и 3 на 4. — Рис. 1. У каждой раскладки два размера; оба являются делителями количества точек.

Положительные кратные 4 получаются умножением на натуральные числа: 4, 8, 12, 16 и так далее. Делителей у положительного числа конечное количество, а положительных кратных — бесконечно много. Нуль тоже кратен любому натуральному числу, поскольку $0 = d \cdot 0$ . Но делителем нуль быть не может: деление на нуль не определено.

Признаки делимости

Признак делимости позволяет определить делимость без полного вычисления частного. Для десятичной записи неотрицательного целого числа действуют следующие правила:

Делитель	Число делится без остатка тогда и только тогда, когда…
2	последняя цифра — 0, 2, 4, 6 или 8
5	последняя цифра — 0 или 5
10	последняя цифра — 0
3	сумма цифр делится на 3
9	сумма цифр делится на 9

Число, которое делится на 2, называют чётным, а которое не делится — нечётным. Признаки для 2, 5 и 10 связаны с разрядами: все десятки, сотни и более крупные разрядные слагаемые уже делятся на эти числа. Остаётся проверить единицы. Например, $1234 = 1230 + 4$ : первая часть делится на 2, и последняя цифра 4 тоже.

Для 3 и 9 важна другая закономерность: 10 отличается от 1 на 9, 100 — на 99, 1000 — на 999. Если заменить каждую разрядную единицу единицей, разница будет кратна и 3, и 9. Поэтому число и сумма его цифр дают одинаковый остаток при делении на 3, а также при делении на 9.

Число 372 разложено как сумма цифр 3 плюс 7 плюс 2 и дополнительное слагаемое 360, кратное девяти. — Рис. 2. Замена разрядных единиц единицами убирает только количество, кратное 9.

Проверим это точно: $372 = 3 \cdot 100 + 7 \cdot 10 + 2 = 3 \cdot 99 + 7 \cdot 9 + (3 + 7 + 2) = 360 + 12$ . Число 360 делится и на 3, и на 9; сумма цифр 12 делится на 3, но не на 9. Поэтому 372 делится на 3, но не на 9. Делимость на 3 ещё не означает делимости на 9.

Делимость суммы и произведения

Если два числа делятся на $d$ , их сумма также делится на $d$ : полные группы размера $d$ просто объединяются. Их неотрицательная разность тоже делится на $d$ , потому что удаляется целое количество таких групп. Например, 24 и 18 делятся на 6, значит, $24 + 18 = 42$ и $24 - 18 = 6$ делятся на 6.

Если хотя бы один множитель делится на $d$ , произведение целых чисел делится на $d$ . Так, $15 \cdot 7$ делится на 5, потому что $15 = 5 \cdot 3$ , а значит, $15 \cdot 7 = 5 \cdot 21$ . Эти свойства особенно удобны для проверки больших выражений без полного вычисления.

Обратные утверждения в таком виде неверны. Сумма $1 + 2 = 3$ делится на 3, хотя ни одно слагаемое не делится на 3. Произведение $6 \cdot 5 = 30$ делится на 10, хотя ни один множитель не делится на 10. Условие «хотя бы один множитель делится» достаточно, но не обязательно.

Проверка одного числа

Рассмотрим 4050. Последняя цифра 0 означает делимость на 2, на 5 и на 10. Сумма цифр $4 + 0 + 5 + 0 = 9$ означает делимость на 3 и на 9. Значит, все пять признаков выполнены; вычислять пять частных для такого вывода не требуется.

Проверьте число 1230: оно делится на 2, 5, 10 и 3, но не на 9, потому что сумма цифр равна 6. Если применить признаки к числу 0, все пять также выполнятся: нуль делится на любой из этих ненулевых делителей. Это не разрешает обратное действие — деление на нуль.