Положительные и отрицательные числа. Модуль как расстояние

На термометре можно увидеть и 5 градусов выше нуля, и 5 градусов ниже нуля. Расстояние до нулевой отметки одинаковое, но положения различаются. Числу нужен знак, чтобы указать, с какой стороны от выбранного начала находится значение.

Прямая по обе стороны нуля

Продлим числовой луч влево, сохраняя ту же единицу. Справа от нуля расположим положительные числа, слева — отрицательные. Например, $+ 3$ и $- 3$ находятся по разные стороны от нуля на одинаковом расстоянии. Знак плюс перед положительным числом обычно опускают: $+ 3 = 3$ .

Положительное число больше нуля, отрицательное число меньше нуля. Нуль не является ни положительным, ни отрицательным.

Целые числа — натуральные числа, противоположные им отрицательные числа и нуль.

Целые числа обозначают $Z$ : $\dots, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, \dots$ . Между соседними целыми отметками есть и дробные значения. Например, $- 1, 5$ находится посередине между $- 2$ и $- 1$ . Эта точка имеет отрицательную координату, но её координата не является целым числом.

На координатной прямой отмечены целые числа от минус четырёх до четырёх и точка минус полтора. — Рис. 1. Направление возрастания чисел остаётся правым и на отрицательной части прямой.

Знак зависит от выбранного начала отсчёта и смысла величины. Высота $- 20$ м может означать положение на 20 м ниже выбранного уровня, а изменение счёта $- 200$ рублей — уменьшение на 200 рублей. Само расстояние и количество потраченных рублей при этом не становятся отрицательными: отрицательная запись описывает положение или изменение.

Противоположные числа и модуль

Противоположные числа — числа, расположенные на координатной прямой на одинаковом расстоянии от нуля по разные стороны от него. Число 0 противоположно самому себе.

Противоположное числу $a$ обозначают $- a$ . Это обозначение означает смену знака, а не обязательно отрицательный результат: если $a = - 4$ , то $- a = 4$ . У числа существует ровно одно противоположное.

Модуль числа — расстояние от точки с его координатой до нуля на координатной прямой, измеренное в выбранных единицах.

Модуль обозначают вертикальными чертами: $∣ a ∣$ . Расстояние неотрицательно, поэтому $∣ a ∣ \geq 0$ . В частности, $∣5∣ = 5$ , $∣ - 5∣ = 5$ , $∣0∣ = 0$ . Модуль положительного числа равен самому числу, модуль отрицательного — противоположному ему положительному числу.

Точки минус три и три находятся на расстоянии трёх единиц от нуля; обе дуги расстояния подписаны числом 3. — Рис. 2. Модуль сохраняет расстояние, но не сообщает, с какой стороны от нуля расположена точка.

Уравнение $∣ a ∣ = 3$ допускает два значения: $a = 3$ и $a = - 3$ . Для $∣ a ∣ = 0$ подходит только $a = 0$ , а $∣ a ∣ = - 3$ не выполняется ни при каком числе: расстояние не может быть отрицательным. Снятие черт модуля без учёта знака приводит к ошибкам.

Сравнение чисел разных знаков

Правило координатной прямой едино: из двух разных чисел больше то, которое находится правее. Любое положительное число больше нуля и любого отрицательного. Но среди отрицательных больше число с меньшим модулем: $- 3 > - 8$ , потому что точка $- 3$ ближе к нулю справа от $- 8$ .

Сравним $- 2, 4$ и $- 2, 35$ . Их модули равны $2, 4 = 2, 40$ и $2, 35$ ; первый модуль больше. Поэтому первое отрицательное число меньше: $- 2, 4 < - 2, 35$ . Обычное сравнение цифр положительных дробей применяется сначала к модулям, после чего направление неравенства меняется.

Координата и расстояние

Отметим точки $A (- 3)$ и $B (2)$ . От A до нуля три единицы, от нуля до B ещё две, поэтому расстояние AB равно 5. Число $- 3$ является координатой A, а не отрицательной длиной отрезка OA. Для двух отрицательных координат $- 7$ и $- 2$ расстояние тоже равно 5: нужно пройти пять единичных промежутков вправо.

Проверьте мысль «большее по модулю число всегда больше». Числа $- 7$ и $2$ опровергают её: $∣ - 7∣ > ∣2∣$ , но $- 7 < 2$ . Модуль позволяет сравнивать расстояния до нуля; для сравнения самих чисел необходимо учитывать и знак.