Температура была градуса и повысилась на 5 градусов. На прямой это движение от на пять единиц вправо, с результатом 2. Если затем температура понизилась на 4 градуса, движемся влево и получаем . Правила вычислений со знаками продолжают знакомую арифметику на всей прямой.
Сложение как изменение координаты
Прибавление положительного числа перемещает точку вправо на его модуль, прибавление отрицательного — влево. Поэтому , а . Нуль не перемещает точку. Противоположные числа дают нуль: .
При сложении двух чисел одного знака складывают их модули и сохраняют общий знак. При сложении чисел разных знаков из большего модуля вычитают меньший и берут знак числа с большим модулем. Если модули равны, сумма равна нулю.
Например, : два движения влево складываются. В сумме движение на четыре вправо компенсирует часть движения на семь влево. Для получаем модуль и знак минус, поэтому результат . Не следует определять знак по тому, какое слагаемое написано первым.
Вычитание и противоположное число
Вычесть число — значит прибавить противоположное ему число.
Для любых рассматриваемых положительных, отрицательных чисел и нуля:
Это сохраняет связь с обратным действием. Если , то : добавление компенсирует последующее добавление . Поэтому , а . В первой записи минус перед скобками — знак действия, а минус внутри — знак числа.
Разберём . Сначала заменим вычитание сложением противоположного: . Проверка отдельного вычитания: . Скобки помогают видеть, к какому числу относится каждый знак, особенно когда рядом стоят знак действия и знак отрицательного числа.
Почему при умножении важны знаки
Произведение — сумма четырёх одинаковых чисел , то есть . Перестановка множителей сохраняет произведение, поэтому . Чтобы сохранить распределительное свойство и при отрицательных числах, произведение двух отрицательных должно быть положительным.
Действительно, , поэтому . После раскрытия скобок получаем . Чтобы сумма стала нулём, второе произведение должно равняться 12. Такое рассуждение применимо и к другим положительным модулям; это объяснение общего правила, а не только удобная мнемоника.
Произведение двух ненулевых чисел одного знака положительно, разных знаков — отрицательно. Модуль произведения равен произведению модулей множителей.
Например, , а . Если один множитель равен нулю, произведение равно нулю, и ему не приписывают положительный или отрицательный знак.
Деление и выражения
Деление проверяется умножением: , потому что . При ненулевом делимом и делителе одинаковые знаки дают положительное частное, разные — отрицательное; модули делят как обычные положительные числа. Нулевое делимое даёт нуль при ненулевом делителе, а деление на нуль не определено.
Порядок действий остаётся прежним. В выражении сначала получаем , затем . Нельзя считать, что два минуса в любом месте автоматически исчезают: в результат отрицательный. Нужно различать правило сложения, вычитания и умножения.
Проверьте утверждение «вычитание всегда уменьшает число». Оно верно для вычитания положительного числа, но показывает увеличение. Знак и смысл действия важнее привычного словесного ярлыка.