Округление, приближение, точность и оценка результата

Число зрителей 48 763 можно кратко сообщить как «около 49 тысяч». Такая запись удобнее, но теряет часть информации. Приближённое значение нужно выбирать под задачу: для грубой оценки и для точного расчёта требуется разная подробность.

В 5–6 классах изучите округление, прикидку и различие знаков $=$ и $\approx$. Часть «Точность приближения» рассчитана на возвращение в 9–10 классах: в ней используются модуль, действительные числа и проценты.

Округление до разряда

Округлить число до выбранного разряда — заменить его ближайшим числом, в котором все более мелкие разряды равны нулю. Если два таких числа одинаково близки, в школьном правиле округляют в сторону большего модуля.

Для неотрицательного числа смотрят на первую отбрасываемую цифру. Если она от 0 до 4, сохраняемую часть не меняют. Если она от 5 до 9, к последней сохраняемой цифре прибавляют 1, учитывая перенос в старшие разряды. В натуральных числах отброшенные разряды заменяют нулями, а в десятичных дробях ненужную правую часть записи убирают.

Например, $48763\approx 49000$ при округлении до тысяч: первая отбрасываемая цифра 7. До сотен получаем $48800$, потому что первая отбрасываемая цифра 6. Число $3,746$ до десятых округляется до $3,7$, до сотых — до $3,75$. В каждом случае меняется выбранный разряд, поэтому одного ответа «округлено» без указания точности недостаточно.

На границе действует договорённость: $3,75$ до десятых округляют до $3,8$. Для отрицательного числа по принятому здесь правилу сначала округляют модуль, затем возвращают знак: $-3,75\approx -3,8$. Это правило нужно отличать от округления к ближайшему чётному, которое встречается в некоторых компьютерных расчётах.

Прикидка и проверка масштаба

Прикидка заменяет исходные числа удобными близкими значениями, чтобы заранее понять примерный результат. Так, для $198\cdot 49$ можно взять $200\cdot 50=10000$. Точное вычисление даёт $198\cdot (50-1)=9900-198=9702$. Ответ 970,2 здесь сразу вызывает сомнение: он примерно в десять раз меньше ожидаемого.

Прикидка не всегда даёт строгую границу. В примере оба положительных множителя увеличены, поэтому $198\cdot 49<200\cdot 50$. Для произвольной смеси округлений вверх и вниз подобный вывод без проверки делать нельзя. Если нужна гарантированная оценка, отдельно обоснуйте, почему результат больше или меньше выбранной границы.

Знак $=$ означает точное равенство, а знак $\approx$ — приближённое.

Нельзя заменять один другим только потому, что калькулятор показал мало цифр. Например, $\frac{1}{3}\approx 0,33$, но $\frac{1}{3}\ne 0,33$. При этом $0,5=\frac{1}{2}$ — точное равенство: конечная десятичная запись иногда представляет число полностью.

Точность приближения

Абсолютная погрешность приближения — модуль разности между точным числом и его приближённым значением.

Если точное число $x$ заменено числом $\tilde{x}$, абсолютная погрешность равна:

$$\Delta =|x-\tilde{x}|.$$

Для длины 2,347 м, округлённой до 2,35 м, получаем $\Delta =|2,347-2,35|=0,003$ м, то есть 3 мм. У погрешности величины те же единицы измерения, что у самой величины. Если точное число неизвестно, обычно устанавливают верхнюю границу погрешности вместо её точного значения.

При округлении к ближайшей отметке с шагом $h>0$ погрешность не превышает половины шага: $\Delta \le \frac{h}{2}$. Для сотых $h=0,01$, поэтому $\Delta \le 0,005$. В середине промежутка достигается равенство; заменять знак $\le$ на строгий $<$ нельзя.

Если известно $|x-2,35|\le 0,005$, то $2,345\le x\le 2,355$. Это интервал возможных значений по заданной границе. При школьном округлении положительных чисел до сотых в 2,35 округляются значения от 2,345 включительно до 2,355 не включительно: правый конец округляется в 2,36. Граница погрешности и правило выбора на середине — разные утверждения.

Относительная погрешность и промежуточные шаги

Одинаковая абсолютная погрешность по-разному существенна для больших и малых величин. Ошибка 1 см при длине 1 м составляет 1%, а при длине 10 м — 0,1%. Когда точное значение $x\ne 0$, относительную погрешность определяют отношением:

$$\delta =\frac{\Delta }{|x|}.$$

В процентах записывают $\delta \cdot 100\%$. Для нулевого точного значения эта формула не определена; абсолютную погрешность при этом по-прежнему можно обсуждать. Если вместо неизвестного $x$ в знаменателе используют его приближение, получают оценку относительной погрешности, а не точное значение по определению.

Не округляйте слишком рано. Точная сумма $\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1$. После замены каждого слагаемого на 0,33 получится 0,99; отдельные малые ошибки сложились. Поэтому при вычислении сохраняют точные дроби или дополнительные цифры и округляют окончательный результат до нужной точности.

Наконец, граница ошибки округления не учитывает автоматически ошибку измерительного прибора или исходных данных. Если длина известна только приблизительно, добавление нулей в запись $2,3=2,3000$ не делает измерение точнее. Проверьте утверждение «больше цифр — всегда больше точность»: для одной и той же исходной величины это может быть только изменение формы записи.