Иррациональные и действительные числа на координатной прямой

Диагональ квадрата со стороной 1 длиннее стороны, но короче двух сторон. Её длина обозначается $\sqrt{2}$. Десятичные приближения можно находить всё точнее, однако никакая обыкновенная дробь не даст эту длину точно. Для таких значений требуется расширить множество рациональных чисел.

Для геометрического примера понадобятся квадратный корень и теорема Пифагора. Здесь квадратный корень $\sqrt{a}$ при $a\ge 0$ означает неотрицательное число, квадрат которого равен $a$. Полные правила действий с корнями изучаются отдельно; в этой статье важна природа самого числа.

Длина, которая не выражается дробью

У прямоугольного треугольника с катетами 1 и 1 по теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен $1^2+1^2=2$. Поэтому диагональ единичного квадрата имеет длину $\sqrt{2}$. Рисунок показывает, какой отрезок описывается, но не доказывает невозможность его дробной записи.

Иррациональное число — число, которое нельзя представить отношением двух целых чисел с ненулевым знаменателем.

Докажем, что $\sqrt{2}$ иррационально. Предположим обратное: $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$, где $p$, $q$ — положительные целые числа, а дробь несократима. После возведения в квадрат получаем $p^2=2q^2$, значит, $p^2$ чётно. Квадрат нечётного числа нечётен: если $p=2k+1$, то $p^2=4k^2+4k+1$. Следовательно, $p$ чётно и можно записать $p=2k$.

Подставим это в равенство: $4k^2=2q^2$, откуда $q^2=2k^2$. По тому же рассуждению $q$ тоже чётно. Тогда и числитель, и знаменатель делятся на 2 — противоречие с несократимостью дроби. Значит, исходное предположение невозможно и $\sqrt{2}$ действительно иррационально.

Десятичные приближения

Иррациональное число имеет бесконечную непериодическую десятичную запись. Если бы запись закончилась или стала периодической, число можно было бы выразить дробью. Например, $\sqrt{2}=1,41421356\dots$. Многоточие само по себе не является доказательством непериодичности; для этого числа доказательство дано выше.

Чтобы получить границы без доверия к рисунку, сравним квадраты положительных чисел. Имеем $1,41^2=1,9881<2$, а $1,42^2=2,0164>2$. На положительной части прямой большее число имеет больший квадрат, поэтому:

$$1,41<\sqrt{2}<1,42.$$

Проверка $1,414^2=1,999396<2$ и $1,415^2=2,002225>2$ сужает границы до $1,414<\sqrt{2}<1,415$. Запись $\sqrt{2}\approx 1,414$ — приближение; запись $\sqrt{2}=1,414$ была бы ошибкой. Точный символ корня сохраняет число целиком, даже когда все его десятичные цифры выписать невозможно.

Действительные числа

Рациональные и иррациональные числа вместе образуют действительные числа. Их множество обозначают $\mathbb{R}$.

Каждому действительному числу соответствует одна точка координатной прямой, и каждой точке — одно действительное число. Это соответствие принимаем здесь как свойство действительных чисел; его полное обоснование требует построения числовой системы, выходящего за рамки школьного введения. Разные записи, например $1$ и $0,(9)$, могут обозначать одну точку.

Натуральные, целые и рациональные числа уже входят в $\mathbb{R}$. Числа $-\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$ тоже действительные, но иррациональные. Иррациональность $\sqrt{3}$ и $\pi$ здесь используется без доказательства; для $\pi$ оно существенно сложнее школьного введения. Числа $\sqrt{4}=2$ и $\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$ рациональны: знак корня сам по себе не означает иррациональность.

Сравнение и действия

Сравнивать действительные числа можно по положению на прямой или по точным границам. Из $1,41<\sqrt{2}<1,42$ следует $\sqrt{2}<\frac{3}{2}$, потому что $\frac{3}{2}=1,5$. При переходе к противоположным числам порядок меняется: $-\sqrt{2}>-1,5$. Если два приближения совпали до сотых, этого недостаточно, чтобы объявить сами числа равными.

Сумма или произведение двух иррациональных чисел могут быть рациональными: $\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$ и $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$. Значит, правило «в результате обязательно останется иррациональное число» неверно. С действительными числами выполняют привычные арифметические действия; деление допускается только на ненулевое число.