Изменение на несколько процентов и последовательные изменения

Вещь стоила 1000 рублей. Цена выросла на 20%, затем снизилась на 20%. Вернулась ли она к исходной? При втором изменении процент считают уже от новой цены. Для расчёта нужны процент как доля и действия с десятичными дробями.

Изменение и новая величина

Увеличение положительной величины на p процентов означает прибавление p/100 исходной величины. Уменьшение на p процентов означает вычитание p/100 исходной величины.

$$B=A\left(1+\frac{p}{100}\right),B=A\left(1-\frac{p}{100}\right).$$

Здесь $A>0$ — исходная величина, $B$ — новая, $p\ge 0$ — число процентов изменения. Для уменьшения неотрицательного количества требуется $p\le 100$. Скобка является коэффициентом изменения: рост на 20% даёт множитель 1,2, снижение на 20% — 0,8.

После роста получаем $1000\cdot 1,2=1200$ рублей. Увеличение на 20% отличается от «стало 20% исходного»: в последнем случае результат равен $1000\cdot 0,2=200$ рублей. В первом случае новая величина составляет 120% исходной.

Восстановить исходное и измерить изменение

Если после скидки 15% вещь стоит 680 рублей, это 85% исходной цены. Поэтому исходная цена равна $680:0,85=800$ рублей. Проверка: скидка $800\cdot 0,15=120$ рублей, цена $800-120=680$ рублей. Прибавить 15% к 680 означало бы использовать другую базу и получить 782 рубля — исходную цену это не восстановит.

После уменьшения на 100% новая величина равна нулю при любом исходном значении. Восстановить исходное только по такому результату нельзя: коэффициент изменения равен нулю, а деление на нуль не определено.

Если величина изменилась с $A$ до $B$, относительное изменение в процентах находят так:

$$\frac{B-A}{A}\cdot 100\%,A>0.$$

Для цены от 800 до 1000 рублей прибавка равна 200, а рост — $\frac{200}{800}\cdot 100\%=25\%$. Обратный переход от 1000 к 800 даёт снижение 20%. Знак выражения показывает направление: отрицательное значение означает уменьшение. При $A=0$ процентное изменение от исходного значения этой формулой не определено.

Последовательные изменения

В исходном примере после роста цена равна 1200 рублей. Снижение на 20% составляет $1200\cdot 0,2=240$ рублей, поэтому итоговая цена — 960 рублей:

$$1000\cdot 1,2\cdot 0,8=960.$$

Общее изменение равно $\frac{960-1000}{1000}\cdot 100\%=-4\%$: итог на 4% ниже исходного. Складывать $+20\%$ и $-20\%$ здесь нельзя. Короткая проверка использует коэффициенты: $1,2\cdot 0,8=0,96$.

Чтобы после роста на 20% точно вернуться к исходной величине, нужно умножить на $\frac{1}{1,2}=\frac{5}{6}$. Это снижение на $\frac{1}{6}$ новой величины, то есть на $16\frac{2}{3}\%$. Обратный коэффициент отвечает на вопрос точнее, чем попытка повторить исходный процент с другим знаком.

Проценты и процентные пункты

Доля участников выросла с 20% до 25%. Разность долей составляет 5 процентных пунктов. Относительно прежней доли увеличение равно $\frac{25-20}{20}\cdot 100\%=25\%$. Числа 5 и 25 отвечают на разные вопросы.

Процентный пункт используют для разности величин, которые уже выражены в процентах. Если вместо этого говорят «доля выросла на 5%», нужно понять основание: относительный рост 20% на 5% дал бы $20\%\cdot 1,05=21\%$, а не 25%.

Повторение по периодам: продолжение для 9–11 классов

Если одна и та же доля прироста применяется к достигнутой величине в конце каждого периода, коэффициент повторяется. Для начального значения $A_0$, роста $p\%$ за период и целого числа периодов $n\ge 0$:

$$A_n=A_0{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n.$$

Здесь $A_0>0$, $p\ge 0$; пополнения, изъятия и дополнительные изменения отсутствуют. Например, для условного количества 1000 при росте на 10% за период получаем 1100 после первого, 1210 после второго и 1331 после третьего. Это модель повторного увеличения, не описание условий конкретного вклада.

Если каждый период прибавляют 10% первоначального количества, прибавка всё время равна 100: через три периода получится 1300. Такая модель даёт $A_n=A_0(1+np/100)$ и отличается от начисления на достигнутое значение. Выбор базы важнее знакомого слова «процент».