Процент: три основные задачи

Из 100 одинаковых клеток выделено 15. Это $\frac{15}{100}$ всего квадрата, или 15 процентов. Проценты используют одну и ту же удобную долю для разных целых. Чтобы находить количество, сначала нужно знать, что принято за 100%; здесь помогает связь части и целого.

Сотая доля и разные записи

Один процент — одна сотая часть выбранной целой величины. Число p процентов соответствует доле p/100 этой величины.

1% = \frac{1}{100} = 0, 01, 15% = \frac{15}{100} = 0, 15.

Знак $%$ читают «процент». Доля $\frac{1}{4}$ соответствует 25%, потому что $\frac{1}{4} = \frac{25}{100}$ . Десятичная дробь 0,075 соответствует 7,5%, а 150% — доле 1,5. Процентная запись может содержать дробное число и превышать 100.

Квадрат разбит на сто равных клеток; пятнадцать выделенных клеток составляют пятнадцать процентов. — Рис. 1. Количество выделенных сотых совпадает с числом процентов.

Для перехода от процентов к доле число процентов делят на 100, а для обратного перехода долю умножают на 100 и добавляют знак процента. Не путайте $0, 15$ и $0, 15%$ : первое — 15%, второе — доля 0,0015, в сто раз меньшая.

Найти процент от величины

В наборе 240 карточек, 15% из них синие. За целое принимаем весь набор. Один процент — $240 : 100 = 2, 4$ карточки как расчётная доля; пятнадцать процентов — $2, 4 \cdot 15 = 36$ карточек. Удобнее сразу умножить на долю:

A = W \cdot \frac{p}{100} .

Здесь $W > 0$ — всё количество, $p$ — число процентов, $A$ — искомое количество в тех же единицах. Для части набора $0 \leq p \leq 100$ . В примере $A = 240 \cdot 0, 15 = 36$ . Расчётная доля не обязана быть целым числом предметов; итог для точного количества предметов должен соответствовать условию. Проверка: 10% от 240 — 24, 5% — 12; вместе 36.

Восстановить целое по проценту

Теперь 36 синих карточек составляют 15% неизвестного набора. Один процент равен $36 : 15 = 2, 4$ , а сто процентов — 240. Общий способ:

W = A : \frac{p}{100}, p > 0.

Для примера $W = 36 : 0, 15 = 240$ карточек. Если разделить 36 только на 15 и принять 2,4 за целое, будет найден один процент, а не весь набор. Проверка прямой задачей возвращает 36. При $p = 0$ восстановить целое по нулевой части нельзя.

Найти процентное отношение

Если известны 36 синих карточек и 240 карточек всего, сначала найдём долю: $\frac{36}{240} = 0, 15$ . Затем переведём её в проценты:

p = \frac{A}{W} \cdot 100, W > 0.

Ответ — 15%. В формуле $p$ является числом процентов; знак процента дописывают в ответе. Для одноимённых величин единицы сначала согласуют: 45 см от 1,5 м — это $\frac{45}{150} \cdot 100 = 30%$ .

Связь целого 240, доли 0,15 и части 36 показана умножением, обратным делением и отношением. — Рис. 2. Три задачи различаются неизвестной величиной, но используют одну связь между частью и целым.

Как выбрать основание сравнения

Число 60 составляет 150% от 40, потому что $\frac{60}{40} = 1, 5$ . Но 40 составляет примерно 66,7% от 60. Основание сравнения изменилось, поэтому результат другой. Процентное отношение не симметрично.

Может ли 150% описывать долю синих карточек внутри того же набора? Нет: количество синих не превышает общее количество. Но 150% может описывать новый размер набора относительно старого. Само число процентов допустимо; значение определяется вопросом и выбранным целым.