Буква, переменная и формула. Подстановка значений

У прямоугольной грядки ширина 3 м, а длина может меняться. Для длины 5 м площадь равна $3 \cdot 5 = 15 м^{2}$ , для длины 8 м — $3 \cdot 8 = 24 м^{2}$ . Чтобы каждый раз не описывать расчёт заново, обозначим числовое значение длины буквой $a$ . Достаточно знать смысл умножения и порядок действий.

Буква оставляет место для числа

Прямоугольная грядка с шириной 3 м и длиной a м; площадь вычисляют по записи S = 3 · a. — Рис. 1. Меняется длина грядки, а правило вычисления площади остаётся одним и тем же.

Переменная — буква, вместо которой в рассматриваемой задаче можно подставлять различные допустимые числа. Буквенное выражение — запись, составленная из чисел, букв, знаков действий и скобок.

Запись $3 \cdot a$ , или короче $3 a$ , — буквенное выражение. Здесь $a$ обозначает числовое значение длины в метрах, а $3 a$ — числовое значение площади в квадратных метрах. Буква сама по себе не задаёт единицу: её смысл и единицу нужно назвать в условии. Между числом и буквой знак умножения обычно опускают; запись $3 a$ означает $3 \cdot a$ , а не $3 + a$ .

Одна и та же буква в пределах одного расчёта обозначает одно и то же число. Если $a = 5$ , то в выражении $a + a + 3$ обе буквы заменяем числом 5 и получаем 13. Разные буквы могут обозначать разные числа, но могут принять и одинаковые значения: из названий букв это не следует.

Формула связывает величины

Формула — равенство, которое выражает связь между величинами и позволяет вычислять одни из них по значениям других.

Для нашей грядки формула имеет вид

S = 3 a .

Здесь $S$ — числовое значение площади в квадратных метрах, $a$ — числовое значение длины в метрах; ширина фиксирована и равна 3 м. Подставим $a = 5$ : $S = 3 \cdot 5 = 15$ . Ответ к задаче — $15 м^{2}$ . Если изменится также ширина, формула $S = 3 a$ перестанет описывать грядку: понадобится второе изменяемое число.

Не любая буква обязательно меняется. В формуле стоимости $C = p n$ цена $p$ может быть фиксирована для выбранного товара, а количество $n$ — меняться. Если товар продаётся поштучно, $n$ принимает целые неотрицательные значения; длина грядки, напротив, может быть дробной и должна быть положительной. Допустимые числа определяются не только знаками действий, но и смыслом задачи.

Как выполнить подстановку

Числовое значение буквенного выражения — результат действий после замены всех переменных выбранными допустимыми числами.

Вычислим $2 x + 3$ при $x = 4$ . Сначала подставляем число: $2 \cdot 4 + 3$ . Затем выполняем умножение, после него сложение: получаем 11. Подстановка не меняет порядок действий и не разрешает сначала сложить 4 и 3.

Дерево вычисления выражения 2x + 3: значение x умножают на 2, затем прибавляют 3; при x = 4 получают 11. — Рис. 2. Дерево действий сохраняет смысл записи при любой разрешённой подстановке.

Если переменных несколько, нужно задать каждую. При $a = 3$ , $b = 2$ выражение $2 (a + b)$ равно $2 \cdot (3 + 2) = 10$ . Задать только $a$ недостаточно: без значения $b$ числовой результат ещё не определён.

Подстановка отрицательных чисел в 6–7 классах

После изучения действий со знаками можно подставлять отрицательные значения. Для $x = - 4$ получаем $2 x + 3 = 2 \cdot (- 4) + 3 = - 8 + 3 = - 5$ . Скобки показывают, что в место переменной вставлено всё отрицательное число. В записи $5 - x$ та же подстановка даёт $5 - (- 4) = 9$ , а не 1.

Проверьте различие выражений $3 a$ и $a + 3$ : при $a = 2$ их значения равны 6 и 5. При $a = \frac{3}{2}$ оба дают $\frac{9}{2}$ , однако одно совпадение не делает записи одинаковыми по смыслу. Чтобы сравнивать выражения для всех допустимых значений, понадобятся тождественные преобразования.

Выразить величину через другие в 7 классе

Формулу можно использовать в обратном направлении. В $C = p n$ стоимость известна, а количество неизвестно. При $p \neq = 0$ делим обе части равенства на цену: получаем $n = C / p$ . В задаче о покупке цена положительна; если стоимость равна 240 рублям, а цена одного предмета — 30 рублей, количество равно $240 : 30 = 8$ предметов. Нельзя делить на цену 0: такая формула не определяет количество по стоимости.

Для периметра прямоугольника $P = 2 (a + b)$ сначала делим обе части на 2, затем вычитаем $a$ из обеих частей. Получаем $b = P /2 - a$ . При $P = 14 см$ и $a = 4 см$ имеем $b = 7 - 4 = 3 см$ ; проверка возвращает $2 (4 + 3) = 14 см$ . Равенство сохраняется, поскольку к обеим его частям применяются одинаковые обратимые действия. В геометрической задаче дополнительно нужно $b > 0$ : не каждый набор исходных чисел описывает существующий прямоугольник.