Выражение можно вычислить при : получается . При знаменатель обращается в нуль, и расчёт невозможен. Поэтому до подстановки и упрощения нужно выяснить, какие числа разрешены.
Сначала проверяем смысл действий
Допустимыми значениями переменных называют такие наборы их значений, при которых все действия в исходном выражении имеют смысл. Область допустимых значений (ОДЗ) — совокупность всех таких наборов значений.
Для условие имеет вид . Для выражения требуется . Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю; поэтому нужно одновременно исключить и . Числитель может быть нулём: при дробь определена и равна нулю.
Проверяют каждый знаменатель, а не только последний. Например, в нужны оба условия: и . Позднее корни и логарифмы добавят собственные ограничения; сейчас используем знакомое правило о ненулевом делителе.
Если переменных несколько, их значения проверяют вместе. Для требуется : числа , образуют допустимый набор, а , — нет. При одной переменной набор состоит из одного числа, поэтому ОДЗ обычно описывают просто как множество допустимых чисел.
Равенство при одном числе и тождество
Распределительное свойство даёт при любом действительном . Это не случайное совпадение результатов нескольких вычислений: свойство объясняет равенство сразу для всех значений. Напротив, равенство верно лишь при .
Тождество — равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Выражения, значения которых равны при всех значениях из рассматриваемой общей ОДЗ, называют тождественно равными на этой области.
Несколько удачных подстановок не доказывают тождество. Например, верно при и , но при получаем . Одного контрпримера достаточно, чтобы опровергнуть утверждение «равенство верно для всех чисел».
Что сохраняет преобразование
Тождественное преобразование заменяет выражение тождественно равным ему на исходной области допустимых значений. Если новая запись допускает больше значений, исходные ограничения сохраняют отдельно.
Упростим . При в числителе и знаменателе есть общий ненулевой множитель , поэтому дробь равна 2. Новая короткая запись выглядит разрешённой и при нуле, но исходная дробь при нуле не имела смысла. Полный результат преобразования — «2 при ».
Нельзя сократить сумму как произведение. В переменная не является множителем всего числителя. При дробь равна 3; ошибочная «сокращённая» запись даёт 7. Правильно при разделить каждое слагаемое на знаменатель: .
Разобранный расчёт и проверка
Рассмотрим . Сначала записываем . По распределительному свойству числитель равен , затем . При исходная запись даёт , что согласуется с результатом. Такая подстановка проверяет конкретный расчёт, а равенство для всех ненулевых обосновывают выполненные тождественные переходы.
Можно ли теперь подставить нуль в исходный расчёт, раз ответ равен 4? Нет: короткий результат действует только вместе с условием . Умение сохранять эту границу понадобится и при действиях с алгебраическими дробями, и при решении уравнений.