Логарифм, его свойства, десятичный и натуральный логарифмы

Степень $2^{3} = 8$ связывает основание 2, показатель 3 и результат 8. Корень при известном показателе ищет основание: $38 = 2$ . Если известны основание 2 и результат 8, неизвестным становится показатель; его называет логарифм. Нужны свойства степеней и проверка допустимых значений.

Логарифм отвечает на вопрос о показателе

Логарифм положительного числа $b$ по основанию $a$ — показатель степени, в которую нужно возвести $a$ , чтобы получить $b$ . Его обозначают $lo g_{a} b$ ; основание удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \neq = 1$ .

Таким образом, $lo g_{2} 8 = 3$ , потому что $2^{3} = 8$ . Для дробного результата показатель может быть отрицательным: $lo g_{2} \frac{1}{8} = - 3$ . Имеем также $lo g_{a} 1 = 0$ и $lo g_{a} a = 1$ . У логарифма нет требования быть положительным — положительными должны быть основание и аргумент.

Над степенями двойки от 1/8 до 8 стоят показатели -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3; чтение от результата к показателю обозначено как логарифм. — Рис. 1. Степень и логарифм читают одну связь в противоположных направлениях.

Логарифм не всегда рационален. Для общего определения используем продолжение $a^{t}$ на действительные показатели: при $a > 1$ оно непрерывно и строго возрастает, при $0 < a < 1$ — непрерывно и строго убывает, а его значения заполняют все положительные числа. Отсюда для каждого $b > 0$ есть единственный показатель $t$ . Эти свойства принимаем без построения действительной степени: такое построение требует более развитого анализа. При $a = 1$ все степени дают 1, поэтому единственности нет.

Например, $lo g_{1/2} 8 = - 3$ , поскольку $(\frac{1}{2})^{- 3} = 8$ . При $a > 1$ большему аргументу соответствует больший логарифм; при $0 < a < 1$ порядок обратный. Отрицательные аргументы и нуль не получаются как действительные степени положительного основания, поэтому логарифмы этих чисел в действительных числах не определены.

Почему произведение превращается в сумму

Пусть $u, v > 0$ , $p = lo g_{a} u$ и $q = lo g_{a} v$ . По определению $u = a^{p}$ , $v = a^{q}$ , поэтому $uv = a^{p + q}$ . Единственность показателя даёт логарифм произведения. Аналогично частное использует разность показателей, а степень — их произведение:

lo g_{a} (uv) = lo g_{a} u + lo g_{a} v, lo g_{a} \frac{u}{v} = lo g_{a} u - lo g_{a} v,

lo g_{a} (u^{r}) = r lo g_{a} u .

Во всех формулах $a > 0, a \neq = 1, u > 0, v > 0$ ; показатель $r$ может быть действительным. Для рационального $r$ доказательство опирается на уже изученные свойства, для действительного — на их принятое продолжение. В каждом переходе нужно проверять исходные аргументы, прежде чем объединять логарифмы.

Разберём $lo g_{2} 12 + lo g_{2} \frac{2}{3}$ . Оба аргумента положительны; их произведение равно 8. Поэтому сумма равна $lo g_{2} (12 \cdot \frac{2}{3}) = lo g_{2} 8 = 3$ . Отдельные логарифмы вычислять приближённо не понадобилось.

Для суммы аргументов правила нет: $lo g_{2} (4 + 4) = 3$ , а $lo g_{2} 4 + lo g_{2} 4 = 4$ . Также из определённости $lo g_{a} (uv)$ не следует, что отдельные $lo g_{a} u$ и $lo g_{a} v$ разрешены. При $u = v = - 2$ произведение положительно, но два исходных логарифма не существуют. Преобразование не должно создавать ответы на запрещённых исходных значениях.

Меняем основание

Если $t = lo g_{a} b$ , то $b = a^{t}$ . Возьмём логарифм по другому допустимому основанию $c$ : $lo g_{c} b = t lo g_{c} a$ . Число $lo g_{c} a$ ненулевое, потому что $a \neq = 1$ , поэтому

lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a} .

Условия: $a, c > 0$ , $a, c \neq = 1$ , $b > 0$ . Например, $lo g_{4} 8 = \frac{l o g _{2} 8}{l o g _{2} 4} = \frac{3}{2}$ . Обратная проверка: $4^{3/2} = (4)^{3} = 8$ . Для одинаковых допустимых оснований и аргументов также работают $a^{l o g_{a} b} = b$ и $lo g_{a} (a^{t}) = t$ .

Десятичный и натуральный логарифмы

Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10; его обозначают $l g b$ . Натуральный логарифм — логарифм по основанию $e$ ; его обозначают $ln b$ .

Число $e \approx 2, 71828$ — определённая положительная математическая константа. Его можно охарактеризовать как предел $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ при неограниченном увеличении натурального $n$ ; существование предела и его свойства здесь используем без доказательства. Натуральный логарифм станет особенно удобен при изучении непрерывного роста и производной, но его текущие свойства уже следуют из общих правил логарифмов.

Для десятичного логарифма $l g 1000 = 3$ , $l g 0, 01 = - 2$ . Для натурального $ln 1 = 0$ , $ln e = 1$ , $ln (e^{2}) = 2$ . Число аргумента должно быть положительным в обоих случаях. Для приближённого расчёта можно использовать смену основания: $lo g_{2} 3 = ln 3/ ln 2 \approx 1, 585$ .

На логарифмической шкале одинаковые шаги соответствуют числам 0,01, 0,1, 1, 10, 100 и 1000; под ними стоят десятичные логарифмы от -2 до 3. — Рис. 2. Равные расстояния на этой шкале означают равные множители 10, а не равные прибавки.

Почему расстояние от 1 до 10 такое же, как от 10 до 100? Десятичный логарифм увеличивается на 1 при каждом умножении аргумента на 10. Абсолютные прибавки равны 9 и 90, однако отношения одинаковы. Это свойство позволяет сравнивать числа разных порядков величины; график логарифмической функции изучается отдельно.