Корень натуральной степени и степень с рациональным показателем

Число 3 в четвёртой степени даёт 81, а число $- 4$ в третьей степени даёт $- 64$ . Можно ли обратить обе операции одинаковым правилом? Ответ зависит от чётности показателя. Перед чтением нужны арифметический квадратный корень и целые показатели; часть о дробном показателе относится к 11 классу.

Чётные и нечётные корни в 10 классе

Корнем $n$ -й степени из действительного числа $a$ называется действительное число, $n$ -я степень которого равна $a$ , где $n$ — натуральное число не меньше 2. Арифметическим корнем $n$ -й степени из неотрицательного числа $a$ называют неотрицательное число, $n$ -я степень которого равна $a$ .

При чётном $n$ действительная $n$ -я степень неотрицательна. Поэтому отрицательное $a$ корня не имеет, а для $a > 0$ имеются два противоположных корня. Знак $n a$ при чётном $n$ обозначает арифметический, то есть неотрицательный, корень. Например, $481 = 3$ , хотя и $(- 3)^{4} = 81$ . При $a = 0$ корень один — 0.

При нечётном $n$ знак степени совпадает со знаком основания, а каждому действительному $a$ соответствует единственный действительный корень. Его также обозначают $n a$ : $3 - 64 = - 4$ . Отрицательный нечётный корень является действительным корнем, но не называется арифметическим корнем из неотрицательного числа.

Чётная четвёртая степень чисел -3 и 3 даёт 81, а нечётная третья степень сохраняет знак: -4 переходит в -64, 4 в 64. — Рис. 1. Чётная степень теряет знак основания, нечётная его сохраняет.

Существование корней принимаем как свойство действительных чисел без доказательства через их строгое построение. Единственность неотрицательного корня объясняет строгое возрастание $t^{n}$ при $t \geq 0$ : если $v > u \geq 0$ , то $v^{n} - u^{n} = (v - u) (v^{n - 1} + v^{n - 2} u + \dots + u^{n - 1}) > 0$ . Для нечётной степени отрицательная половина получает ту же единственность через противоположные числа, а значения разных знаков не совпадают.

Свойства корней и ограничения

При $a, b \geq 0$ имеем $n ab = n a n b$ . Если дополнительно $b > 0$ , то $n a / b = n a / n b$ . Доказательство такое же, как для квадратного корня: предложенное число неотрицательно и при возведении в степень даёт нужное произведение или частное, после чего используем единственность. Для нечётного $n$ эти два правила допускают любые действительные $a, b$ , кроме $b = 0$ в частном; единственность действительного корня сохраняет обоснование.

Для любого действительного $a$ корень из $a^{n}$ равен $∣ a ∣$ при чётном $n$ и равен $a$ при нечётном. Например, $4 (- 2)^{4} = 2$ , а $3 (- 2)^{3} = - 2$ . Вынесение множителя подчиняется этой разнице: $4 16 x^{4} = 2∣ x ∣$ , $3 8 x^{3} = 2 x$ .

Разберём числовой пример: $354 - 32 = 3 27 \cdot 2 - 32 = 332 - 32 = 232$ . Для вложенных арифметических корней при $a \geq 0$ действует $m n a = mn a$ : левая величина неотрицательна, а её $mn$ -я степень равна $a$ .

Рациональный показатель в 11 классе

Чтобы сохранить правило $(a^{1/ n})^{n} = a$ , вводим дробный показатель через корень. На положительном основании он согласуется и с целыми показателями.

Степенью положительного числа $a$ с рациональным показателем $\frac{m}{n}$ , где $m$ — целое число, $n$ — натуральное число больше 1, называют $m$ -ю степень арифметического корня $n$ -й степени из $a$ . Для целого показателя используют ранее данное определение степени с целым показателем.

Для $a > 0$ и $r = \frac{m}{n}$ , где $m$ — целое, $n$ — натуральное, имеем

a^{m / n} = (n a)^{m} .

При $n = 1$ это обычная целая степень: $a^{m /1} = a^{m}$ . Чтобы формула охватывала и этот случай, в ней условно полагают $1 a = a$ .

Например, $1 6^{3/4} = (416)^{3} = 2^{3} = 8$ , а $2 7^{- 2/3} = (327)^{- 2} = 3^{- 2} = \frac{1}{9}$ . Корень сначала уменьшает показатель, затем целая степень даёт нужный числитель. При положительном основании можно и сначала возвести в степень: $a^{m / n} = n a^{m}$ .

Число 16 по пути «корень четвёртой степени, затем куб» проходит через 2 к 8; по пути «куб, затем корень четвёртой степени» проходит через 4096 к тому же 8. — Рис. 2. Для положительного основания оба порядка операций задают одно значение.

Определение не должно зависеть от записи рационального числа. Например, $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$ : для $a > 0$ числа $a$ и $(4 a)^{2}$ неотрицательны и имеют одинаковый квадрат $a$ , поэтому равны. В общем случае приводим две равные дроби к общему положительному знаменателю; единственность положительного корня и целые степени дают тот же результат. Это обосновывает согласованность записи.

Что можно переносить на новые показатели

При $a, b > 0$ и рациональных $r, s$ сохраняются $a^{r} a^{s} = a^{r + s}$ , $a^{r} / a^{s} = a^{r - s}$ , $(a^{r})^{s} = a^{r s}$ , $(ab)^{r} = a^{r} b^{r}$ и $(a / b)^{r} = a^{r} / b^{r}$ . Для обоснования выбирают общий знаменатель показателей и выражают степени через один положительный корень, после чего применяют свойства целых степеней. Например, $9^{1/2} \cdot 9^{3/2} = 9^{2} = 81$ .

Для нуля отдельно определяют $0^{r} = 0$ при $r > 0$ ; нулевой и отрицательный показатели с основанием 0 не определены. Отрицательные основания в общее определение рациональной степени здесь не включаем. Хотя $3 - 8 = - 2$ существует, попытка определить $(- 8)^{1/3}$ по любой записи дроби столкнётся с $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ : корень шестой степени из $- 8$ не существует. Свойства нельзя переносить без принятой области основания.

Проверьте различие $481$ и $8 1^{1/4}$ : обе записи равны 3 и согласованы. А запись $3 - 8$ разрешена как нечётный корень, хотя отрицательное основание не входит в универсальные правила рациональных степеней этой статьи.