В непрозрачном мешочке несколько одинаковых фишек. Вместе с тремя фишками снаружи их восемь. Сколько фишек скрыто? Обозначим неизвестное число буквой и запишем условие: . Буква позволяет выразить то, что уже известно, ещё до нахождения ответа. Здесь понадобятся смысл арифметических действий и обратные действия.
Равенство с неизвестным числом
Уравнение — равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой. Корень уравнения — значение неизвестного, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.
В записи выражение — левая часть, число — правая часть. Знак равенства сообщает, что значения частей должны совпасть. Подставим : получится , то есть . Значит, — корень этого уравнения. Подстановка даёт , поэтому корнем не является.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
Слово «все» существенно. В простом примере корень один, но одно удачное число ещё не всегда завершает решение. Область поиска тоже имеет значение: число предметов должно быть целым и неотрицательным, а длина может быть дробной и должна быть положительной. В дальнейшем, если не сказано иначе, уравнения будем решать в действительных числах; при решении конкретной задачи добавим ограничения её смысла.
Неизвестный компонент действия
Восемь фишек состоят из неизвестной части и трёх известных. Чтобы найти неизвестное слагаемое, из суммы вычитаем известное: . Рисунок частей объясняет этот шаг без подбора: после удаления трёх фишек остаётся ровно мешочек с его содержимым. Проверка возвращает нас к исходному условию.
При вычитании важно различать неизвестное уменьшаемое и неизвестное вычитаемое. Из следует : восстанавливаем целое по двум частям. В уравнении неизвестна удалённая часть, поэтому . Одинаковый знак действия не означает одинакового способа нахождения неизвестного.
Обратное действие помогает и с умножением. Из получаем , поскольку произведение разделено на известный множитель. Из получаем . Если неизвестен делитель, как в , он не может быть нулём; тогда . В каждом случае называем неизвестный компонент, а не выбираем действие только по внешнему виду записи.
От слов к ответу задачи
Три одинаковые тетради стоят вместе рубля. Пусть — цена одной тетради в рублях. Тогда , откуда . Подстановка даёт , а смысловая проверка подтверждает: цена положительна. Ответ задачи — рублей за тетрадь, а не просто число без пояснения.
При составлении уравнения нужно сохранять отношения из условия. «На три больше» означает прибавление трёх, а «в три раза больше» — умножение на три. Для неизвестного это разные выражения: и . Подстановка, например, даёт соответственно и и позволяет заметить ошибку ещё до решения.
Почему проверяют исходную запись
Проверка состоит в вычислении обеих частей при одном и том же найденном значении. Для при слева получается , справа — . Если ошибочно взять , исходное равенство не выполнится. Проверять только последнюю строку бессмысленно: она повторяет найденное число и не проверяет условие.
Уравнение корней не имеет: после прибавления одинакового числа к обеим сторонам разность между ними остаётся равной единице. Напротив, верно при любом допустимом . Эти примеры показывают, почему решение должно устанавливать и сами корни, и полноту ответа.