Уравнения и записаны по-разному, но выбирают одно и то же число. Уравнения и тоже связаны, однако второе допускает ещё . Чтобы решать уверенно, нужно следить за множеством корней, а не только за удобством новой записи. Предварительно нужны корень и проверка уравнения и допустимые значения выражений.
Что значит сохранить корни
Два уравнения называются равносильными, если они имеют одно и то же множество корней. Равносильное преобразование уравнения — переход к уравнению с тем же множеством корней.
Сравнение выполняют в указанной области поиска. Если работаем с действительными числами, имеет корни и и не равносильно . Если отдельно задано , их множества корней совпадут. Уравнения без корней тоже равносильны друг другу в общей области: оба задают пустое множество.
Переход можно считать равносильным только после проверки двух направлений. Каждый корень исходного уравнения должен удовлетворять новому, и каждый корень нового — исходному. Для такой связи используют знак . Знак означает лишь следствие: обратный переход пока не обоснован.
Действия, которые можно обратить
Если к обеим частям прибавить одно и то же число, равенство сохранится. Обратное действие — вычитание этого числа — возвращает исходную запись. Поэтому оба направления верны. Умножение обеих частей на одно и то же ненулевое число также обратимо: достаточно затем разделить на него. Умножение на нуль обратимого действия не имеет.
Та же идея действует для выражений, если они определены на всей рассматриваемой области. Прибавление одинакового выражения обратимо вычитанием. Умножать или делить на выражение равносильно можно там, где оно определено и отлично от нуля. Ограничения исходных дробей и других выражений нужно сохранять во всех следующих строках.
Например, равносильно , а затем . Мы сначала вычли , затем разделили на ненулевое число . «Перенести слагаемое со сменой знака» — сокращённое описание прибавления противоположного слагаемого к обеим частям, а не особое действие над одной стороной.
Как теряется корень
Уравнение выполняется при и при . Если сразу разделить обе части на , останется и корень . Но при делить было нельзя, поэтому этот корень потерян. Безопасно отдельно рассмотреть , а затем область , где деление допустимо; объединение ответов даёт оба корня.
Противоположная опасность возникает при умножении на выражение, которое может обращаться в нуль. Из следует , но новое уравнение допускает ещё . Исходное равенство при нуле неверно. Следовательно, такое умножение без дополнительных условий даёт уравнение-следствие, а не равносильную запись.
Позднее развитие: возведение в степень
Этот раздел опирается на свойства степеней и понадобится при уравнениях с корнями. Возведение обеих частей в квадрат сохраняет каждое исходное равенство, но забывает знак: из получается . Число удовлетворяет новой записи, а исходной — нет. Его называют посторонним корнем преобразованного уравнения относительно исходного.
Посторонний корень — корень полученного при преобразовании уравнения, который не является корнем исходного уравнения.
Для двух неотрицательных выражений равенство квадратов уже позволяет восстановить равенство самих выражений. Поэтому условие на знак может сделать квадратирование обратимым. Возведение действительных чисел в нечётную натуральную степень обратимо без условия одинакового знака: разные числа имеют разные нечётные степени.
После переходов только к следствиям найденные числа проверяют в исходном уравнении. Проверка отсекает посторонние кандидаты, но не возвращает корни, ранее потерянные делением. Полное решение требует одновременно контролировать допустимость действий и проверять результат. Так мы понимаем, почему одной подстановки в конце иногда недостаточно.