В двух коробках вместе семь карандашей. Одного условия недостаточно, чтобы узнать содержимое каждой: подходят пары , и другие. Если известно ещё, что удвоенное число карандашей в первой коробке на два больше числа во второй, пара становится определённой. Для решения понадобится линейное уравнение с одной переменной.
Одно равенство и пары чисел
Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида , где и — переменные, а , , — заданные числа. Решение такого уравнения — пара значений переменных, при которой оно обращается в верное числовое равенство.
В порядке первое число подставляют вместо , второе — вместо . Для пара подходит, а — нет. Если хотя бы один из коэффициентов , не равен нулю, действительных решений бесконечно много: можно выразить одну переменную через другую. При остаётся числовое равенство : оно либо верно для всех пар, либо не имеет решений.
Пару изображают точкой на координатной плоскости: отсчитывают по горизонтальной оси, — по вертикальной. График — прямая, все точки которой удовлетворяют равенству. Если и , запись задаёт вертикальную прямую. Целые неотрицательные пары в задаче о карандашах составляют лишь часть действительных точек графика.
Одновременное выполнение условий
Решение системы уравнений — значения переменных, при которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство. Решить систему — значит найти все её решения или установить, что решений нет.
Наши условия записываются вместе под фигурной скобкой:
Пара удовлетворяет первому уравнению, но не второму: . Поэтому она не является решением системы. Общая пара должна принадлежать обеим прямым сразу. На рисунке она находится в точке их пересечения; затем координаты устанавливают точным вычислением.
Подстановка и сложение
Для подстановки выразим из первого уравнения . Во втором заменим этим выражением: . Получаем , значит, , а . Подстановка обратима: первое равенство определяет , а второе после замены проверяет именно такую пару. Поэтому найденное решение единственно.
Для сложения прибавим левые и правые части исходных уравнений: . Слагаемые с исчезнут, и снова получится . Важно сохранить одно из исходных уравнений, например , чтобы восстановить . Одна сумма без сохранённого уравнения не равносильна системе: допускает любое .
Если коэффициенты ещё не противоположны, одно или оба уравнения предварительно умножают на подходящие ненулевые числа. Например, для и переменная исключается сразу: , откуда , . Проверка в обоих исходных равенствах даёт и .
Сколько решений возможно
Две пересекающиеся прямые дают одну общую пару. Различные параллельные прямые общих точек не имеют. Если прямые совпадают, все их точки подходят, и решений бесконечно много. Для двух уравнений, каждое из которых задаёт прямую, других случаев нет.
Система , несовместима: удвоение первого равенства даёт , что противоречит второму. Если справа во втором равенстве стоит , оно повторяет первое и не добавляет ограничения. Графический набросок помогает выбрать случай, но точность ответа обосновывают уравнения.
В задаче о коробках означает три карандаша в первой и четыре во второй. Оба числа целые и неотрицательные, поэтому математическое решение подходит смыслу задачи. Перестановка чисел дала бы другое содержимое коробок и нарушила второе условие: порядок переменных является частью ответа.