Линейное уравнение с одной переменной

Тариф состоит из постоянной платы и платы за каждый час. Равенство двух итоговых стоимостей может после раскрытия скобок привести к записи $4 x = 12$ . Число часов находится делением, однако не всякое похожее уравнение имеет один корень. Здесь используем раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых и равносильные преобразования.

Общий вид и коэффициенты

Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида $a x = b$ , где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — заданные числа.

В этой статье допускаем $a = 0$ , чтобы сразу включить особые случаи. Число $a$ — коэффициент при переменной, $b$ — правая часть. Запись $a x + c = 0$ приводится к тому же виду прибавлением $- c$ к обеим частям. Более длинное уравнение называют сводящимся к линейному, если допустимые преобразования приводят его к $a x = b$ .

При $a \neq = 0$ обе части можно разделить на $a$ . Получаем единственный корень:

x = \frac{b}{a} .

Он существует, потому что подстановка даёт $a \cdot (b / a) = b$ . Других корней нет: любое число, удовлетворяющее $a x = b$ , после того же деления обязано равняться $b / a$ . Так деление доказывает и наличие корня, и его единственность.

Последовательность преобразований

Решим $3 (2 x - 1) = 2 x + 9$ . Раскрываем скобки: $6 x - 3 = 2 x + 9$ . Вычитаем $2 x$ из обеих частей и прибавляем $3$ : получаем $4 x = 12$ . После деления на $4$ имеем $x = 3$ . Коэффициент перед скобкой умножает каждое слагаемое, поэтому слева возникает $- 3$ , а не $- 1$ .

Уравнение 3(2x-1)=2x+9 последовательно приводится к 4x=12 и x=3. — Рис. 1. Сначала собирают переменную и постоянные слагаемые, затем делят на её коэффициент.

Проверка исходной записи даёт слева $3 (6 - 1) = 15$ , справа $6 + 9 = 15$ . Все преобразования были равносильными, поэтому проверка служит ещё и защитой от вычислительной ошибки. Для дробных коэффициентов можно предварительно умножить обе части на общий ненулевой числовой знаменатель. Например, $x /3 + 1 = x /2$ после умножения на $6$ превращается в $2 x + 6 = 3 x$ и даёт $x = 6$ .

Нулевой коэффициент

Если при приведении подобных получилось $0 x = 5$ , уравнение корней не имеет: произведение нуля на любое действительное число равно нулю и не может равняться пяти. Запись $0 x = 0$ , напротив, верна для каждого действительного $x$ . Делить на нулевой коэффициент нельзя ни в одном из этих случаев.

Например, $2 (x + 3) = 2 x + 5$ приводит к $2 x + 6 = 2 x + 5$ , а затем к $0 x = - 1$ , то есть корней нет. Уравнение $2 (x + 3) = 2 x + 6$ приводит к $0 x = 0$ и верно для всех действительных чисел. Исчезновение переменной не означает автоматически ни ошибку, ни ответ $x = 0$ ; нужно прочитать оставшееся равенство.

Как ответ возвращается в модель

Пусть прокат велосипеда стоит $60$ рублей за выдачу и $90$ рублей за час. За целое число часов заплачено $330$ рублей. Обозначим время через $t$ в часах: $60 + 90 t = 330$ . После вычитания $60$ и деления на $90$ получаем $t = 3$ . Проверка даёт $60 + 270 = 330$ , а найденное время удовлетворяет условию целого положительного числа часов.

Если при тех же условиях было бы заплачено $300$ рублей, алгебра дала бы $t = 8/3$ . Такое число является корнем составленного уравнения, но не подходит модели оплаты только за целое число часов. Значит, при этой модели условие задачи несовместимо. Ограничения смысла задачи нужно проверять отдельно от арифметического равенства.