Квадратное уравнение, дискриминант и формула корней

Площадь квадрата равна $9$ . Если неизвестна положительная длина стороны, ответ равен $3$ . Но уравнение $x^{2} = 9$ в действительных числах имеет ещё корень $- 3$ : отрицательное число тоже даёт положительный квадрат. От такого простого случая перейдём к общему уравнению второй степени. Нужны формулы квадратов и арифметический квадратный корень.

Что делает уравнение квадратным

Квадратным уравнением называется уравнение вида $a x^{2} + b x + c = 0$ , где $x$ — переменная, $a$ , $b$ , $c$ — заданные числа и $a \neq = 0$ . Числа $a$ , $b$ , $c$ называются коэффициентами квадратного уравнения.

Если $a = 0$ , квадратный член исчезает и уравнение становится линейным либо числовым равенством. Если $b = 0$ или $c = 0$ , квадратное уравнение называют неполным. В $2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$ коэффициенты равны $2$ , $- 5$ , $- 3$ : знак входит в значение коэффициента. Перед чтением коэффициентов приводят все слагаемые к одной стороне и собирают подобные.

Неполные уравнения часто решаются сразу. Из $x^{2} - 9 = 0$ получаем $x = \pm 3$ . В $2 x^{2} - 6 x = 0$ выносим $2 x$ : $2 x (x - 3) = 0$ , поэтому $x = 0$ или $x = 3$ . Деление на $x$ потеряло бы нуль. Уравнение $x^{2} = 0$ имеет только корень $0$ , а $x^{2} + 9 = 0$ действительных корней не имеет: квадрат не может быть отрицательным.

Как выделить полный квадрат

Уравнение $x^{2} + 6 x = 7$ пока не имеет готового квадрата слева. Прибавим к обеим частям $9$ : $x^{2} + 6 x + 9 = 16$ , то есть $(x + 3)^{2} = 16$ . Следовательно, $x + 3 = 4$ или $x + 3 = - 4$ . Получаем $x = 1$ и $x = - 7$ . Проверка исходной записи даёт $1 + 6 = 7$ и $49 - 42 = 7$ .

Квадрат со стороной x+3 составлен из квадрата x², двух прямоугольников 3x и малого квадрата площадью 9. — Рис. 1. Добавление квадрата площадью девять завершает выражение до полного квадрата.

Площадная модель предполагает $x > 0$ , потому что на ней $x$ обозначает длину. Она объясняет форму выражения, а не ограничивает корни алгебраического уравнения. Тождество $x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2}$ верно для всех действительных $x$ по раскрытию скобок, поэтому отрицательный корень $- 7$ также сохраняется.

От полного квадрата к формуле корней

Для общего случая умножим $a x^{2} + b x + c = 0$ на ненулевое число $4 a$ и дополним квадрат. Получаем равносильную запись:

(2 a x + b)^{2} = b^{2} - 4 a c .

Действительно, раскрытие левого квадрата даёт $4 a^{2} x^{2} + 4 ab x + b^{2}$ , а вычитание правой части — $4 a (a x^{2} + b x + c)$ . Обратный переход возможен, поскольку $a \neq = 0$ . Обозначим правую часть буквой $D$ .

Дискриминантом квадратного уравнения $a x^{2} + b x + c = 0$ называется число $D = b^{2} - 4 a c$ . При $D > 0$ уравнение имеет два различных действительных корня, при $D = 0$ — один действительный корень, при $D < 0$ — действительных корней нет.

При $D \geq 0$ из квадрата получаем $2 a x + b = \pm D$ , а затем:

x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a} .

Здесь $D$ — неотрицательный арифметический корень; два знака учитывают оба числа с данным квадратом. При $D = 0$ обе записи дают один корень $- b / (2 a)$ , который называют двукратным. При $D < 0$ квадрат не может равняться правой части, поэтому действительных корней нет. Комплексные числа в этой теме не рассматриваются.

Три точных графика (x-2)²-1, (x-2)² и (x-2)²+1 пересекают горизонтальную ось соответственно дважды, один раз и ни разу. — Рис. 2. Пересечения с осью показывают число различных действительных корней.

Применение и проверка знаков

Для $2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$ имеем $D = (- 5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3) = 25 + 24 = 49$ . Поэтому $x = (5 \pm 7) /4$ : корни $3$ и $- 1/2$ . При $x = 3$ получаем $18 - 15 - 3 = 0$ ; при $x = - 1/2$ — $1/2 + 5/2 - 3 = 0$ . В числителе стоит $- b$ , то есть $5$ , а под корнем вычисляется квадрат всего отрицательного коэффициента.

Полезная проверка числа корней: $x^{2} - 4 x + 5 = 0$ после выделения квадрата превращается в $(x - 2)^{2} + 1 = 0$ . Оно не имеет действительных корней, что согласуется с $D = 16 - 20 = - 4$ . Формула корней не отменяет анализа условий: сначала проверяют, что уравнение действительно квадратное и что извлечение действительного корня возможно.