Теорема Виета и разложение квадратного трёхчлена

У выражения $(x - 2) (x - 5)$ нули видны сразу: $2$ и $5$ . После раскрытия скобок получается $x^{2} - 7 x + 10$ . Сумма корней равна $7$ , а произведение — $10$ ; эти числа уже присутствуют в коэффициентах. Связь позволяет проверять корни и восстанавливать многочлен. Нужны квадратное уравнение и разложение на множители.

Связь корней с коэффициентами

Теорема Виета. Если $x_{1}$ и $x_{2}$ — действительные корни квадратного уравнения $a x^{2} + b x + c = 0$ , где $a \neq = 0$ и двукратный корень учитывается дважды, то их сумма равна $- b / a$ , а произведение равно $c / a$ .

Главные соотношения запишем отдельно:

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} .

Для доказательства используем формулу корней. Сумма $(- b + D) / (2 a)$ и $(- b - D) / (2 a)$ равна $- b / a$ , потому что радикалы сокращаются. Произведение равно $(b^{2} - D) / (4 a^{2}) = 4 a c / (4 a^{2}) = c / a$ . Вычисления справедливы и при $D = 0$ , когда оба записанных корня совпадают.

Квадратное уравнение называют приведённым, если коэффициент при $x^{2}$ равен $1$ . Для $x^{2} + p x + q = 0$ теорема принимает вид $x_{1} + x_{2} = - p$ , $x_{1} x_{2} = q$ . Коэффициент $p$ берут вместе со знаком: в $x^{2} - 7 x + 10 = 0$ он равен $- 7$ , поэтому сумма корней равна $7$ .

Пара чисел два и пять согласуется одновременно с суммой семь и произведением десять. — Рис. 1. Для проверки пары нужны оба соотношения, а не только сумма.

Обратная теорема и подбор

Обратная теорема Виета. Если два действительных числа $u$ и $v$ имеют сумму $- p$ и произведение $q$ , то они являются корнями уравнения $x^{2} + p x + q = 0$ .

Доказательство следует из раскрытия скобок: $(x - u) (x - v) = x^{2} - (u + v) x + uv = x^{2} + p x + q$ . При $x = u$ или $x = v$ произведение равно нулю. Других корней у этого произведения нет: если оба множителя ненулевые, ненулево и произведение. При $u = v$ получаем один двукратный корень.

Чтобы решить $x^{2} - 7 x + 10 = 0$ , ищем пару с произведением $10$ и суммой $7$ . Пары положительных целых множителей $1$ и $10$ , $2$ и $5$ дают суммы $11$ и $7$ . Подходит вторая, поэтому корни $2$ и $5$ . Это удобный способ для подходящих коэффициентов, но отсутствие целой пары не доказывает отсутствие действительных корней.

Например, у $x^{2} - 2 = 0$ корни $- 2$ и $2$ иррациональны. Они имеют сумму $0$ и произведение $- 2$ , так что теорема Виета действует и здесь. Для $x^{2} + 2 x + 2 = 0$ действительных корней нет, поскольку $D = - 4$ . Подбор нельзя использовать как замену исследованию дискриминанта.

Разложение квадратного трёхчлена

Квадратный трёхчлен — многочлен вида $a x^{2} + b x + c$ с $a \neq = 0$ . Если соответствующее уравнение имеет действительные корни $x_{1}, x_{2}$ , то из теоремы Виета и раскрытия скобок следует тождество:

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) .

Число $a$ перед скобками необходимо: оно восстанавливает старший коэффициент. Например, у $2 x^{2} - 5 x - 3$ корни $3$ и $- 1/2$ , поэтому разложение имеет вид $2 (x - 3) (x + 1/2)$ . Без двойки получилось бы другое выражение. Проверка раскрытием даёт $2 x^{2} - 5 x - 3$ .

Коэффициент a и два множителя x-x1, x-x2 образуют квадратный трёхчлен; показан пример 2(x-3)(x+1/2). — Рис. 2. Корни задают линейные множители, а старший коэффициент сохраняется перед ними.

Повторный корень и предел метода

При $D = 0$ разложение превращается в $a (x - x_{0})^{2}$ . Так, $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ : сумма двух записей корня равна $6$ , произведение — $9$ , но различных корней только один. Нужно различать число различных корней и учёт корня дважды в формулах Виета.

Если $D < 0$ , представить трёхчлен произведением двух действительных линейных множителей нельзя. Такой множитель имел бы действительный нуль и дал бы действительный корень исходного многочлена. Теорема Виета помогает проверять уже установленные корни; сама по себе запись их предполагаемой суммы и произведения не гарантирует их действительного существования.