Системы и совокупности уравнений

Условия «число удовлетворяет первому и второму уравнению» и «число удовлетворяет хотя бы одному из них» задают разные ответы. В первом случае выбирают общие решения, во втором объединяют решения всех допустимых альтернатив. Понадобятся система уравнений и исходные ограничения дробных выражений.

«И» и «или» в математической записи

Система уравнений требует одновременного выполнения всех входящих в неё уравнений. Совокупность уравнений требует выполнения хотя бы одного из входящих в неё уравнений.

Система записывается под фигурной скобкой, совокупность — под квадратной скобкой. Пусть $A$ — множество решений первого уравнения, $B$ — второго. Ответ системы есть пересечение $A \cap B$ , то есть элементы обоих множеств сразу. Ответ совокупности есть объединение $A \cup B$ , то есть элементы хотя бы одного множества.

Пересечение множеств — множество их общих элементов. Объединение множеств — множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств.

Эти определения не требуют, чтобы решения были числами: для систем с двумя неизвестными элементами множеств будут упорядоченные пары. Слова «хотя бы одному» допускают выполнение двух условий одновременно. Повторяющееся решение при объединении записывают один раз.

Два уравнения и два разных ответа

Первое уравнение $(x + 1) (x - 2) = 0$ имеет корни $- 1$ и $2$ . Второе, $(x - 2) (x - 3) = 0$ , имеет корни $2$ и $3$ . Их система имеет только корень $2$ , потому что лишь он общий. Совокупность этих уравнений имеет корни $- 1$ , $2$ , $3$ .

Множества A={-1;2} и B={2;3}: пересечение содержит два, объединение содержит минус один, два и три. — Рис. 1. Одни и те же уравнения дают разные ответы при соединении словом «и» или словом «или».

Проверим число $- 1$ : первое произведение нулевое, второе равно $(- 3) (- 4) = 12$ и не равно нулю. Оно подходит совокупности, но не системе. Число $2$ делает нулевыми оба произведения и подходит обеим записям. Такой прямой контроль помогает не перепутать операции над множествами.

Почему произведение даёт совокупность

На общей области определения уравнение $F (x) G (x) = 0$ равносильно альтернативе $F (x) = 0$ или $G (x) = 0$ . Оба равенства одновременно требовать не нужно. Поэтому разложение на множители создаёт совокупность более простых уравнений, а дополнительное условие на знаменатель или знак соединяется с каждой ветвью как система условий.

Например, $\frac{( x - 1 ) ( x - 3 )}{x - 1} = 0$ определено при $x \neq = 1$ . Числитель обнуляется при $1$ или $3$ , но каждая альтернатива должна сохранять $x \neq = 1$ . Первая ветвь решений не имеет, вторая даёт $x = 3$ . Подстановка в исходную дробь даёт $0/2 = 0$ .

Для системы допустимы только значения, при которых определены все её исходные уравнения. Допустимое преобразование отдельного уравнения не отменяет остальные: при сложении двух уравнений сохраняют одно из них, при подстановке сохраняют связь, определяющую заменённую переменную. Иначе можно получить больше решений, чем было у системы.

Ограничения отдельных альтернатив

Если совокупность задана двумя самостоятельными уравнениями с разными областями определения, сначала решают каждое на его собственной области. Возьмём альтернативы $1/ (x - 1) = 1$ или $x = 1$ . Первая имеет корень $2$ и запрещает $1$ ; вторая имеет корень $1$ и не содержит знаменателя. Объединение ответов — ${1; 2}$ . Запрет первой ветви нельзя автоматически перенести на самостоятельную вторую.

Первая самостоятельная ветвь 1/(x-1)=1 имеет корень два, вторая x=1 имеет корень один; совокупность содержит оба числа. — Рис. 2. Общие исходные ограничения сохраняются во всех преобразованных ветвях; собственные ограничения самостоятельных альтернатив остаются в своих ветвях.

Иная ситуация — ветви, полученные из одного исходного уравнения. В дроби из предыдущего раздела запрет $x = 1$ был общим исходным ограничением, поэтому действовал в каждой ветви. Различие объясняется происхождением условий: сначала устанавливают область исходной задачи, затем сохраняют её при равносильном преобразовании.

Если две системы объединены в совокупность, решение каждой требует всех её условий одновременно, после чего ответы систем объединяют. При возвращении к двум переменным нужно сохранять пары целиком: из решений $(1; 2)$ и $(3; 4)$ нельзя получить новые пары $(1; 4)$ и $(3; 2)$ . Работа с множествами делает и логическую связку, и полноту ответа видимыми.