Показательные и логарифмические уравнения

В равенстве $2^{x} = 8$ неизвестное стоит в показателе, а в $lo g_{2} x = 3$ — под знаком логарифма. Обе записи связаны определением логарифма, но требуют разных ограничений на неизвестное. Предварительно нужны свойства степеней, логарифм и его свойства и решение квадратного уравнения.

Неизвестное в показателе степени

Показательным называется уравнение, в котором переменная входит в показатель степени. При работе с действительными показателями основание степени предполагается положительным и отличным от единицы.

Для $a > 1$ значения $a^{u}$ строго возрастают с $u$ , для $0 < a < 1$ строго убывают. В обоих случаях разным показателям соответствуют разные значения. Поэтому при $a > 0$ , $a \neq = 1$ :

a^{F (x)} = a^{G (x)} ⟺ F (x) = G (x)

на общей области определения показателей. Для возрастающего случая при $v > u$ имеем $a^{v} / a^{u} = a^{v - u} > 1$ ; убывающий случай сводится к нему через основание $1/ a > 1$ . Здесь используем свойства действительной степени. При $a = 1$ любое определённое значение показателя даёт $1$ , и сравнивать показатели по равенству степеней нельзя.

Решим $3^{2 x - 1} = 27$ . Число $27$ равно $3^{3}$ , поэтому $2 x - 1 = 3$ , откуда $x = 2$ . При разных основаниях иногда помогает единое основание: $4^{x} = 2^{x + 3}$ превращается в $2^{2 x} = 2^{x + 3}$ и даёт $x = 3$ . Проверка исходной записи: $4^{3} = 64$ и $2^{6} = 64$ .

Замена и логарифмирование

Уравнение $4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0$ содержит $4^{x} = (2^{x})^{2}$ . Обозначим $t = 2^{x}$ , обязательно $t > 0$ . Получаем $t^{2} - 5 t + 4 = (t - 1) (t - 4) = 0$ , значит, $t = 1$ или $t = 4$ . Возвращаемся: $2^{x} = 1$ даёт $x = 0$ , а $2^{x} = 4$ — $x = 2$ . Проверки: $1 - 5 + 4 = 0$ и $16 - 20 + 4 = 0$ .

Замена t=2^x переводит уравнение в квадратное с корнями один и четыре, затем даёт x=0 и x=2. — Рис. 1. Новая переменная положительна, а её найденные значения ещё нужно перевести в показатели.

Если для $a^{x} = b$ нельзя удобно представить $b$ степенью $a$ , применяют определение: при $b > 0$ единственный ответ $x = lo g_{a} b$ . Например, $3^{x} = 5$ даёт $x = lo g_{3} 5$ . При $b \leq 0$ действительных решений нет, поскольку $a^{x} > 0$ . Приближённое значение логарифма можно вычислить, но точную запись не заменяют округлённой без необходимости.

Неизвестное под знаком логарифма

Логарифмическим называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком логарифма. Для каждого логарифма его аргумент должен быть положительным, а основание — положительным и отличным от единицы.

При постоянном допустимом основании $a$ из определения следует $lo g_{a} F (x) = c$ тогда и только тогда, когда $F (x) = a^{c}$ . Правая часть положительна, но аргумент $F$ и все остальные исходные выражения должны быть определены. Например, $lo g_{2} (x - 1) = 3$ даёт $x - 1 = 8$ , $x = 9$ , что удовлетворяет исходному $x > 1$ .

Логарифмы с одинаковым допустимым основанием равны тогда и только тогда, когда равны их положительные аргументы. В $lo g_{3} (x + 2) = lo g_{3} (2 x - 1)$ область определяется $x > - 2$ и $x > 1/2$ . Равенство аргументов даёт $x + 2 = 2 x - 1$ , то есть $x = 3$ ; оба аргумента равны $5$ , поэтому корень подходит.

Ограничения при объединении логарифмов

Решим $lo g_{2} (x - 1) + lo g_{2} (x - 3) = 3$ . Исходные аргументы требуют $x > 3$ . На этой области свойство логарифма произведения даёт $lo g_{2} ((x - 1) (x - 3)) = 3$ , поэтому $(x - 1) (x - 3) = 8$ . Получаем $x^{2} - 4 x - 5 = (x - 5) (x + 1) = 0$ , то есть кандидаты $5$ и $- 1$ .

Остаётся только $5$ : при нём аргументы $4$ и $2$ положительны, а сумма логарифмов равна $2 + 1 = 3$ . При $- 1$ произведение аргументов положительно, но каждый исходный аргумент отрицателен, так что исходные логарифмы не определены. Условие положительности одного произведения шире условий положительности обоих множителей.

Объединение двух логарифмов даёт кандидаты минус один и пять; исходное условие x>3 оставляет только пять. — Рис. 2. После преобразования сохраняют ограничения каждого исходного логарифма.

Если основание зависит от $x$ , его ограничения также записывают заранее. Например, в $lo g_{x} 4 = 2$ нужны $x > 0$ и $x \neq = 1$ . Из определения получаем $x^{2} = 4$ , но отрицательное основание $- 2$ запрещено; остаётся $x = 2$ . Так контроль основания и аргумента дополняет решение полученного алгебраического уравнения.