Числовые промежутки и их изображение

Температура может быть выше $- 2$ градусов и не выше $3$ градусов. Здесь подходят и $0$ , и $2, 5$ , и сама верхняя граница $3$ , но не $- 2$ . Как записать сразу все подходящие значения? Понадобятся числовая прямая и сравнение чисел по обе стороны нуля.

Между двумя границами

Запишем условие коротко: $- 2 < x \leq 3$ . Буква $x$ обозначает числовое значение температуры в градусах Цельсия; обе части условия выполняются одновременно. Знак $<$ означает «меньше», а $\leq$ — «меньше или равно». Поэтому нижняя граница исключена, верхняя включена. Между ними нет пропусков: подходят не только целые числа, но и дробные.

Рукописная числовая прямая: промежуток от минус двух до трёх, левая граница открыта, правая закрыта. — Рис. 1. Пустой кружок исключает нижнюю границу, закрашенная точка включает верхнюю.

Числовой промежуток — множество всех чисел числовой прямой, удовлетворяющих заданному одностороннему или двойному ограничению.

Для двух границ $a < b$ различают интервал $(a; b)$ , отрезок $[a; b]$ и полуинтервалы $[a; b)$ , $(a; b]$ . Круглая скобка исключает соответствующую границу, квадратная включает её. Так, наш ответ записывается $(- 2; 3]$ , без перечисления отдельных значений. Между числами в записи промежутка ставим точку с запятой, чтобы не спутать границу с десятичной дробью.

Как читать скобки и лучи

Четыре варианта скобок описывают разные множества. В $(a; b)$ выполняется $a < x < b$ , в $[a; b]$ — $a \leq x \leq b$ . В $[a; b)$ включён только левый конец, а в $(a; b]$ только правый. На рисунке концы отмечают отдельно: толщина выделенного участка не должна скрывать пустой кружок.

Четыре промежутка от минус двух до трёх отличаются только включением левой и правой границ. — Рис. 2. Скобки и отметки на прямой сообщают одно и то же о каждой граничной точке.

Если задана только одна граница, получается луч. Например, $x \geq 3$ записываем $[3; + \infty)$ , а $x < 3$ — $(- \infty; 3)$ . Символы $+ \infty$ и $- \infty$ говорят о неограниченном продолжении вправо или влево; это не числа и не точки прямой. Поэтому рядом с ними всегда круглая скобка. Вся прямая записывается $(- \infty; + \infty)$ ; в старших классах множество действительных чисел обозначают $R$ .

Если ни одно число не подходит, ответ — пустое множество $\emptyset$ . Одно подходящее число записывают, например, ${3}$ . Условие $3 \leq x \leq 3$ даёт именно эту точку, а $3 < x \leq 3$ — пустое множество. Нельзя считать промежуток непустым только потому, что в записи есть две границы.

Общая часть и все подходящие значения

Пусть $A = [- 2; 3]$ , а $B = (1; 5)$ . Буквы $A$ и $B$ обозначают множества; запись $x \in A$ читается «число $x$ принадлежит множеству $A$ ». Чтобы число принадлежало обоим множествам, оно должно быть больше $1$ и не больше $3$ . Общая часть — $(1; 3]$ : число $1$ исключено условием $B$ , число $3$ входит в оба.

Пересечение множеств $A$ и $B$ состоит из элементов, принадлежащих и $A$ , и $B$ . Объединение состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств.

Для нашего примера результаты различаются:

A \cap B = (1; 3], A \cup B = [- 2; 5) .

При объединении промежутки перекрываются, поэтому получается один участок без разрыва. Число $- 2$ принадлежит $A$ и включено, число $5$ не принадлежит ни одному и исключено. Если же объединять $(- \infty; 1)$ и $(3; + \infty)$ , разрыв остаётся: одним промежутком ответ не записать.

На одинаковом масштабе показаны множества A от минус двух до трёх, B от единицы до пяти, их общая часть и объединение. — Рис. 3. Для «и» оставляем общую часть, для «или» собираем оба множества.

Проверка записи ответа

Проверим первоначальное условие $- 2 < x \leq 3$ . Число $- 1, 5$ входит в ответ, хотя не является целым; $3$ входит из-за нестрогого знака; $3, 1$ уже не подходит. Такая проверка помогает заметить перепутанную скобку, но несколько подстановок не заменяют описание всего промежутка. На прямой выделяем все точки между границами, а не только деления шкалы.

Если задача отдельно требует целые значения температуры, из промежутка выбираем $- 1, 0, 1, 2, 3$ . Само двойное неравенство такого ограничения не содержит. Промежуток задаёт числовое условие, а дополнительные требования задачи определяют, какие его элементы нужно оставить.