Числовые неравенства и их свойства

На прямой число $2$ расположено левее $5$ . Если обе точки сдвинуть на три единицы вправо, их порядок сохранится; если отразить относительно нуля, порядок поменяется. Эти два действия объясняют основные свойства неравенств. Для чтения рисунка вспомним действия с числами разных знаков и числовые промежутки.

Сравнение через разность

Для действительных чисел $a$ и $b$ неравенство $a < b$ означает, что разность $b - a$ положительна. Неравенство $a \leq b$ означает, что $a < b$ или $a = b$ .

Так, $- 3 < - 1$ , поскольку $(- 1) - (- 3) = 2 > 0$ . Число с большим модулем не обязательно больше: слева от нуля порядок противоположен порядку расстояний до нуля. Формулировки $a < b$ и $b > a$ выражают одно сравнение с разным порядком записи частей.

Из $a < b$ и $b < c$ следует $a < c$ . Действительно, $c - a = (c - b) + (b - a)$ — сумма двух положительных чисел. Это свойство называют транзитивностью. Для нестрогих знаков оно тоже верно: сумма неотрицательных разностей неотрицательна.

Прибавление и умножение

При прибавлении одного и того же числа к обеим частям верного неравенства знак сохраняется. При умножении обеих частей на положительное число знак сохраняется, а на отрицательное — меняется на противоположный.

При прибавлении числа $c$ разность не меняется: $(b + c) - (a + c) = b - a$ . При умножении на число $c$ разность становится $c (b - a)$ . Если $c > 0$ , она положительна; если $c < 0$ , отрицательна. Это доказательство относится и к дробным, и к отрицательным исходным числам. Обратные операции тоже допустимы, поэтому при $c \neq = 0$ эти преобразования обратимы.

Для $c < 0$ получаем центральное правило:

a < b ⟺ a c > b c .

В частности, из $2 < 5$ после умножения на $- 1$ следует $- 2 > - 5$ . Отражение меняет расположение точек: образ правой точки оказывается левее образа левой. Деление на отрицательное число действует так же, поскольку это умножение на отрицательное обратное число.

Точки два и пять после отражения переходят в минус два и минус пять; новый порядок противоположен исходному. — Рис. 1. При отрицательном множителе меняется порядок точек, а не только знаки чисел.

Умножение на нуль требует отдельного внимания. Из $2 < 5$ не следует $0 < 0$ : строгое сравнение исчезает. Для нестрогого знака получим верное $0 \leq 0$ , но восстановить исходное сравнение уже невозможно. Поэтому такое действие не используют как равносильный шаг решения неравенства.

Складываем ограничения, оцениваем произведение

Если $a < b$ и $c < d$ , то $a + c < b + d$ . Если дополнительно все четыре числа положительны, то $a c < b d$ .

Для суммы разность $(b + d) - (a + c) = (b - a) + (d - c)$ положительна. Для произведения сначала $a c < b c$ , поскольку $c > 0$ , затем $b c < b d$ , поскольку $b > 0$ ; транзитивность завершает доказательство. Аналогичные нестрогие утверждения верны для нестрогих исходных сравнений, причём для произведения достаточно неотрицательности всех четырёх чисел. Если при сложении одно сравнение строгое, а другое нестрогое, итоговая сумма всё равно сравнивается строго.

Разберём пример. Из $2 < a < 5$ и $3 < b < 4$ следует $5 < a + b < 9$ . Все числа положительны, поэтому $6 < ab < 20$ . Границы не достигаются, так как исходные границы исключены. Например, $a = 3$ , $b = 3, 5$ дают сумму $6, 5$ и произведение $10, 5$ , согласованные с оценками; сами оценки получены для всех допустимых $a, b$ , а не по этой подстановке.

Два ограниченных положительных значения дают ограничения суммы от пяти до девяти и произведения от шести до двадцати. — Рис. 2. Нижние границы складываются и перемножаются с нижними, верхние — с верхними при положительных множителях.

Какие действия нельзя переносить механически

Для разности $a - b$ нужна другая оценка. Из $3 < b < 4$ следует $- 4 < - b < - 3$ , а затем сложение с $2 < a < 5$ даёт $- 2 < a - b < 2$ . Почленное вычитание исходных нижних и верхних границ дало бы $- 1$ и $1$ и оказалось бы неверным: например, $a = 4, 9$ , $b = 3, 1$ дают $1, 8$ . Причина ошибки — изменение порядка при переходе к $- b$ .

Нельзя без проверки знаков и возводить обе части в квадрат. Неравенство $- 3 < 2$ верно, но $9 < 4$ неверно. На неотрицательных числах квадрат сохраняет порядок: при $0 \leq a < b$ разность $b^{2} - a^{2} = (b - a) (b + a)$ положительна. Если знак выражения с переменной заранее неизвестен, деление или квадратирование требует разделения на случаи. Область, на которой действие обратимо, должна быть частью решения.