Линейные неравенства и их системы

За доставку берут $200$ рублей и ещё $50$ рублей за каждый килограмм груза. Бюджет — не более $500$ рублей. Нужно найти не один подходящий вес, а все: $200+50m\le 500$, где $m$ — масса в килограммах. Для решения будем применять свойства неравенств, а результат запишем промежутком.

Что считается решением

Решение неравенства с одной переменной — допустимое значение переменной, при котором неравенство становится верным числовым неравенством. Решить неравенство — значит найти все такие значения или доказать, что их нет.

В задаче о доставке вычитаем $200$ из обеих частей и делим на положительное $50$: $m\le 6$. Но масса неотрицательна, поэтому окончательный ответ $0\le m\le 6$ кг. Числа выше $6$ нарушают бюджет, а отрицательные числа не соответствуют величине. Если условие относится к реально отправленному грузу положительной массы, вместо нуля получим открытую левую границу.

Линейным неравенством с одной переменной называется неравенство, которое можно записать в виде $ax+b>0$, $ax+b<0$, $ax+b\ge 0$ или $ax+b\le 0$, где $a$ и $b$ — действительные числа.

Сначала раскрывают скобки и приводят подобные слагаемые, как в линейном уравнении. Однако последняя операция деления требует учесть знак коэффициента. Два неравенства равносильны на заданной области, если имеют на ней одно и то же множество решений. Каждый используемый шаг должен сохранять это множество в обе стороны.

От преобразования к лучу

Решим $5-2x\ge 11$. Вычитание пяти из обеих частей даёт $-2x\ge 6$. Затем делим на отрицательное число $-2$ и меняем знак:

$$\begin{array}{rl}5-2x\ge 11& ⟺-2x\ge 6,\\ & ⟺x\le -3.\end{array}$$

Ответ — $(-\infty ;-3]$. Граница включена: при $x=-3$ обе части равны $11$. При $x=-4$ левая часть равна $13$ и условие верно; при $x=-2$ она равна $9$ и условие неверно. Подстановки подтверждают направление луча, а равносильность всех шагов объясняет полноту ответа.

После приведения неравенство имеет вид:

$$ax+b>0.$$

Для его решения рассматриваем знак коэффициента $a$.

При $a>0$ вычитаем $b$ из обеих частей и делим на положительное число. Знак неравенства сохраняется:

$$x>-\frac{b}{a}.$$

При $a<0$ делим на отрицательное число, поэтому знак меняется:

$$x<-\frac{b}{a}.$$

Граница $-b/a$ в обоих случаях одна, но направления лучей разные.

Когда переменная исчезла

При $a=0$ делить на коэффициент нельзя. Вместо неравенства с переменной остаётся числовое утверждение $b>0$. Если оно верно, подходят все действительные числа; если неверно, решений нет.

Рассмотрим два примера. В первом раскрываем скобки и вычитаем $2x$ из обеих частей:

$$\begin{array}{rl}2(x+1)& >2x+1,\\ 2& >1.\end{array}$$

Последнее утверждение верно и уже не зависит от $x$. Поэтому подходят все действительные числа. Это множество обозначают $\mathbb{R}$.

Во втором примере выполняем те же преобразования:

$$\begin{array}{rl}2(x+1)& \le 2x+1,\\ 2& \le 1.\end{array}$$

Получилось неверное утверждение, поэтому решений нет. Ответ записывают символом $\varnothing$ — пустое множество. В нём нет ни одного элемента: ни одно значение $x$ не удовлетворяет исходному неравенству.

Два требования одновременно

Решение системы неравенств — значение переменной, удовлетворяющее всем неравенствам системы одновременно. Множество решений системы является пересечением их множеств решений.

Решим систему:

$$\{\begin{array}{l}3x-2>1,\\ 2-x\ge -1.\end{array}$$

Первое условие равносильно $x>1$. Во втором вычитаем $2$, получаем $-x\ge -3$; после умножения на $-1$ имеем $x\le 3$. Пересечение лучей даёт $(1;3]$. Число $1$ нарушает первое строгое условие, а $3$ удовлетворяет обоим. Например, $x=2$ даёт верные сравнения $4>1$ и $0\ge -1$.

Для условий $x>3$ и $x\le 1$ общей части нет. Нельзя включить отрезок между границами только потому, что они найдены: каждое число этого отрезка нарушает хотя бы одно условие. Система $x\ge 3$, $x\le 3$, наоборот, оставляет единственную точку $\{3\}$. При записи ответа сравнивают сами множества, включая их граничные точки.

Знак переменного множителя

В линейном примере делитель $-2$ имеет известный знак. Делить обе части на выражение $x-1$ по тому же правилу без условий нельзя: слева от $1$ оно отрицательно, справа положительно, в самой точке равно нулю. Неравенство $(x-1)x>0$ относится уже к другой задаче: нужно исследовать знаки множителей. Разрешённое действие определяется не внешним сходством записи, а областью и знаком того, на что умножаем или делим.