Квадратные неравенства и знак квадратного трёхчлена

Выражение $x^{2} - x - 6$ равно нулю при $x = - 2$ и $x = 3$ . Между корнями оно отрицательно, за их пределами положительно. Почему два нуля позволяют узнать знак на всей прямой? Ответ даст разложение квадратного трёхчлена; если корни не очевидны, используем дискриминант и формулу корней.

От корней к знаку

Квадратное неравенство с одной переменной — неравенство, которое можно записать как сравнение $a x^{2} + b x + c$ с нулём, где $a, b, c$ — действительные числа и $a \neq = 0$ .

Пусть у трёхчлена два различных действительных корня $x_{1} < x_{2}$ . Тогда он равен $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ . Слева от обоих корней два линейных множителя отрицательны, их произведение положительно. Между корнями первый множитель положителен, второй отрицателен; справа оба положительны. Умножение на $a$ завершает определение знака.

Если квадратный трёхчлен имеет два различных действительных корня, то вне промежутка между ними его знак совпадает со знаком старшего коэффициента, а между корнями противоположен ему. В корнях трёхчлен равен нулю.

Это утверждение доказано знаками множителей для всех значений $x$ , а не только для пробных точек. График зависимости $y = a x^{2} + b x + c$ — парабола: при $a > 0$ ветви направлены вверх, при $a < 0$ вниз. Положительному выражению соответствуют точки графика выше горизонтальной оси, отрицательному — ниже. Рисунок показывает результат алгебраического обоснования; точные корни определяются вычислением.

Парабола y=x²-x-6 пересекает ось в минус двух и трёх; между корнями график ниже оси, снаружи выше. — Рис. 1. Знак произведения согласован с положением параболы относительно оси.

Разобранный пример и его границы

Решим $x^{2} - x - 6 \leq 0$ . По разложению $(x + 2) (x - 3)$ корни равны $- 2$ и $3$ , старший коэффициент положителен. Отрицательные значения лежат между корнями, а знак $\leq$ допускает ещё оба нуля:

x^{2} - x - 6 \leq 0 ⟺ - 2 \leq x \leq 3.

Ответ $[- 2; 3]$ . Для строгого $x^{2} - x - 6 < 0$ получилось бы $(- 2; 3)$ , а для $x^{2} - x - 6 > 0$ — $(- \infty; - 2) \cup (3; + \infty)$ . Неравенство не требует искать только корни: они задают границы, но внутри подходящего участка решениями являются все числа.

Проверим направление: при $x = 0$ значение равно $- 6$ , при $x = 4$ — $6$ . Корни дают нуль и включены в исходный нестрогий ответ. Неравенство $- 2 x^{2} + 2 x + 12 > 0$ можно разделить на $- 2$ , сменив знак, и получить $x^{2} - x - 6 < 0$ . Его ответ $(- 2; 3)$ , хотя ветви исходной параболы направлены вниз. Правило «всегда выбираем между корнями» без учёта коэффициента и знака сравнения неверно.

Двойной корень

При дискриминанте $D = b^{2} - 4 a c = 0$ единственный корень $x_{0} = - b / (2 a)$ даёт разложение $a (x - x_{0})^{2}$ . Квадрат положителен при $x \neq = x_{0}$ и равен нулю в $x_{0}$ , поэтому знак при переходе через корень не меняется. При $a > 0$ трёхчлен неотрицателен на всей прямой; при $a < 0$ неположителен на всей прямой.

Например, $(x - 1)^{2} \leq 0$ имеет ответ ${1}$ , а $(x - 1)^{2} < 0$ — $\emptyset$ . Для $(x - 1)^{2} > 0$ нужно исключить единственный нуль: $(- \infty; 1) \cup (1; + \infty)$ . Условие $(x - 1)^{2} \geq 0$ выполняется для всех $x \in R$ . Один и тот же трёхчлен даёт четыре разных ответа в зависимости от знака сравнения.

Если действительных корней нет

Выделение полного квадрата справедливо для любого $a \neq = 0$ :

a x^{2} + b x + c = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{D}{4 a} .

При $D < 0$ , $a > 0$ первое слагаемое неотрицательно, второе строго положительно, поэтому трёхчлен положителен всегда. При $a < 0$ оба слагаемых неположительны, причём второе строго отрицательно; итог отрицателен всегда. Так доказано постоянство знака без предположения о том, как выглядит рисунок.

Один двойной корень касается оси без смены знака; положительный трёхчлен x²+1 не пересекает ось. — Рис. 2. Нулевой и отрицательный дискриминанты требуют разных правил включения нуля.

У $x^{2} + 1$ нет действительных корней, но $x^{2} + 1 > 0$ имеет ответ $R$ . У $x^{2} + 1 \leq 0$ решений нет. Отсутствие корней у уравнения не означает отсутствия решений у любого неравенства. Если после преобразований коэффициент при $x^{2}$ оказался нулём, трёхчлен уже не квадратный и нужно вернуться к линейному или числовому условию.