Метод интервалов. Рациональные неравенства

Для сравнения дроби с нулём недостаточно найти нули числителя: знаменатель может менять знак и обращаться в нуль. Например, в $\frac{( x - 1 ) ( x + 2 )}{x - 3} \geq 0$ важны сразу три точки. Будем использовать знаки линейных множителей и сохранять ограничения алгебраических дробей.

Почему прямая делится на интервалы

Метод интервалов — способ решения неравенства, при котором область определения разбивают нулями выражения и границами его допустимости, определяют знак на полученных промежутках и выбирают части, соответствующие условию.

Для дроби, разложенной на действительные линейные множители и множители постоянного знака, обоснование особенно наглядно. Множитель $x - r$ отрицателен слева от $r$ и положителен справа. На участке без его нуля знак остаётся одним и тем же. Поэтому знаки всех множителей, а значит, их произведения или частного постоянны между соседними отмеченными точками. Одно пробное значение тогда определяет знак на целом таком участке.

Это объяснение требует найти все существенные точки, а не несколько удобных. Если положительный множитель $x^{2} + 1$ не имеет действительных нулей, он не создаёт новых границ. Для более общих непрерывных выражений постоянство знака между нулями связано с невозможностью перейти от плюса к минусу без нуля; здесь используем доказанное правило для разложенных рациональных выражений.

Полный пример с запрещённой точкой

Область определения дроби $\frac{( x - 1 ) ( x + 2 )}{x - 3}$ : $x \neq = 3$ . Нули числителя $- 2$ и $1$ допустимы, поскольку знаменатель в них ненулевой. Располагаем точки в порядке $- 2, 1, 3$ и определяем знак на четырёх интервалах. Слева от $- 2$ два отрицательных множителя дают положительный числитель, а знаменатель отрицателен: дробь отрицательна.

На $(- 2; 1)$ числитель отрицателен и знаменатель отрицателен, поэтому дробь положительна. На $(1; 3)$ числитель положителен, знаменатель отрицателен, дробь отрицательна. Справа от $3$ все множители положительны. Нестрогий знак включает допустимые нули числителя, но никогда не включает точку $3$ :

\frac{( x - 1 ) ( x + 2 )}{x - 3} \geq 0 ⇕ x \in [- 2; 1] \cup (3; + \infty) .

На интервалах, разделённых минус двумя, единицей и тройкой, знаки дроби чередуются минус, плюс, минус, плюс; тройка исключена. — Рис. 1. Нули числителя могут входить в ответ, нуль знаменателя всегда исключён.

При $x = 0$ дробь равна $2/3 > 0$ , при $x = 2$ — $- 4 < 0$ , при $x = 4$ — $18 > 0$ . Эти подстановки согласованы с уже обоснованными знаками. Умножить исходное неравенство на $x - 3$ без условий нельзя: в двух частях области у него разные знаки. Можно умножить на $(x - 3)^{2} > 0$ при $x \neq = 3$ , но запрет $x = 3$ необходимо сохранить.

Кратность и нули, через которые знак не меняется

У множителя $(x - r)^{k}$ при натуральном $k$ знак меняется через $r$ , если $k$ нечётно, и не меняется, если $k$ чётно. Это следует из знака степени отрицательного числа. Для знаменателя правило знака то же, но сама точка всегда запрещена. Поэтому автоматическое чередование плюсов и минусов без учёта кратностей может дать неверный ответ.

Решим $\frac{( x - 1 ) ^{2}}{x + 2} \leq 0$ . При $x \neq = 1$ числитель строго положителен, и знак дроби совпадает со знаком знаменателя. Получаем все $x < - 2$ . Ещё подходит $x = 1$ , где числитель равен нулю, а знаменатель равен $3$ . Ответ $(- \infty; - 2) \cup {1}$ : отдельную точку нельзя потерять только потому, что рядом дробь положительна.

Квадрат числителя сохраняет знак по обе стороны единицы; для нестрогого сравнения отдельно включается допустимый нуль один. — Рис. 2. Проверка отмеченных точек необходима даже после выбора подходящих интервалов.

Сокращение и исходная область

Дробь $\frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ при $x \neq = 1$ равна $x + 1$ . Неравенство $\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} > 0$ тогда равносильно системе $x + 1 > 0$ , $x \neq = 1$ . Получаем $(- 1; 1) \cup (1; + \infty)$ . Выражение после сокращения определено в точке $1$ , исходное — нет; равенство выражений на допустимой области не расширяет её.

Положительный луч x больше минус единицы имеет выколотую точку один, сохранённую после сокращения дроби. — Рис. 3. Сокращённый множитель оставляет запрет исходного знаменателя.

Практическая последовательность такова: перенести всё в одну часть, привести к дроби и сохранить исходные ограничения; найти нули и запрещённые значения; определить знаки на всех участках; проверить включение каждой граничной точки. При переносе сравнения, например $1/ (x - 1) > 2$ , исследуют разность $1/ (x - 1) - 2$ , а не знак первой дроби отдельно. Множество решений относится к исходному условию целиком.