Системы и совокупности неравенств

Требование «значение входит в первый диапазон и во второй» отличается от требования «входит хотя бы в один». Первое сужает выбор до общей части, второе собирает обе возможности. Вспомним пересечение и объединение промежутков и решение линейной системы. Начальные примеры требуют только этих знаний; последняя часть использует рациональные выражения старших классов.

Система: все условия сразу

Система неравенств задаёт одновременное выполнение всех её условий. Её множество решений — пересечение множеств решений отдельных неравенств.

Пусть первое условие даёт $A=[-2;3]$, второе $B=(1;5)$. Для системы нужно одновременно $-2\le x\le 3$ и $1<x<5$. Остаются значения $1<x\le 3$: ответ $A\cap B=(1;3]$. Граница $1$ исключена вторым условием, $3$ входит в оба. Самая левая граница первого множества не обязана становиться границей общей части.

Например, система $x+2\ge 0$, $3-x\ge 0$, $x-1>0$, $5-x>0$ даёт именно эти два диапазона и тот же ответ. Можно решать условия отдельно либо объединять ограничения в ходе решения. Итог обязан удовлетворять каждой исходной строке, включая строгие знаки.

Совокупность: хотя бы одно условие

Совокупность неравенств задаёт выполнение хотя бы одного из её условий. Её множество решений — объединение множеств решений отдельных неравенств.

Для тех же $A$ и $B$ получаем $[-2;5)$. Число $0$ не принадлежит $B$, но принадлежит $A$ и поэтому входит в совокупность. Число $4$ входит только в $B$ и тоже подходит. Слово «или» здесь допускает выполнение обоих условий: число $2$ также включено.

$$\begin{array}{c}\text{система: }(x\in A\text{и}x\in B)\\ ⟺x\in A\cap B,\\ \text{совокупность: }(x\in A\text{или}x\in B)\\ ⟺x\in A\cup B.\end{array}$$

Если условия $x<1$ и $x>3$ стоят в системе, решений нет. Если они стоят в совокупности, ответ $(-\infty ;1)\cup (3;+\infty )$. Нельзя заштриховать промежуток между границами: в нём не выполняется ни одно из исходных строгих условий. Для ответа важно логическое соединение, а не только список найденных границ.

Общая часть может состоять из нескольких кусков

Рассмотрим систему $x^2\ge 4$, $x<3$. Первое неравенство равносильно $x\le -2$ или $x\ge 2$: это объединение двух лучей. Второе оставляет только точки левее $3$. Общая часть равна $(-\infty ;-2]\cup [2;3)$. То, что исходная запись является системой, не делает ответ обязательно одним промежутком.

Доказательство такого отбора можно проверить для произвольного числа. Оно должно принадлежать хотя бы одному из двух лучей первого ответа и одновременно удовлетворять $x<3$. Поэтому ограничение $x<3$ применяем к каждому лучу, затем объединяем оставшиеся части. При $x=-3$ оба условия верны; при $x=5/2$ тоже; при $x=0$ первое неверно, а при $x=3$ второе неверно.

Области определения независимых ветвей

В старших классах совокупность может содержать выражения с разными областями. Рассмотрим две самостоятельные альтернативы: $\frac{x-1}{x-1}>0$ или $x\le 0$. Первая верна при всех $x\ne 1$, вторая при всех $x\le 0$. Их объединение $\mathbb{R}\setminus \{1\}$, потому что в точке $1$ не верна ни одна допустимая ветвь.

Теперь возьмём $\frac{x-1}{x-1}>0$ или $x=1$. Первая ветвь по-прежнему исключает $1$, но вторая определена и верна именно там. Ответ становится $\mathbb{R}$. Запрет знаменателя относится к первой альтернативе; его нельзя навязать второй. Под записью такой совокупности понимаем объединение допустимых решений независимых ветвей.

Иная ситуация возникает, когда ветви получены преобразованием одного исходного неравенства. Если исходная дробь запрещает $x=1$, запрет сохраняется во всех её ветвях, даже когда знаменатель сократился. Различать независимые альтернативы и ветви одной исходной области необходимо и при методе интервалов, и при сравнении квадратного корня. В каждой ветви сначала пересекаем обязательные условия, затем объединяем результаты альтернатив.