Показательные и логарифмические неравенства

При увеличении показателя степени $2^{x}$ растёт, а $(1/2)^{x}$ уменьшается. Поэтому переход от сравнения степеней к сравнению показателей зависит от основания. Та же зависимость возникает у логарифмов. Предварительно нужны степени с рациональным показателем, определение логарифма и линейные неравенства.

Как основание влияет на порядок

При основании $a > 1$ показательная зависимость $a^{x}$ строго возрастает, а при $0 < a < 1$ строго убывает: увеличение показателя соответственно увеличивает или уменьшает значение степени.

Для рациональных показателей направление объясняется свойствами степеней. Если $v > u$ , то $a^{v} / a^{u} = a^{v - u}$ . При $a > 1$ и положительном рациональном $v - u$ последнее значение больше единицы; при $0 < a < 1$ меньше единицы. Для действительных показателей используем то же свойство показательной функции без полного доказательства: его продолжение на иррациональные показатели требует построения действительной степени, которое выходит за вводное решение неравенств. Таблица или рисунок иллюстрируют свойство, но не доказывают его для всех действительных показателей.

При одном допустимом основании и действительных выражениях $F (x), G (x)$ имеем:

a > 1 : a^{F (x)} > a^{G (x)} ⟺ F (x) > G (x), 0 < a < 1 : a^{F (x)} > a^{G (x)} ⟺ F (x) < G (x) .

Для нестрогих знаков включение равенства сохраняется. При $a = 1$ обе степени равны единице, и сравнивать показатели по этим правилам нельзя. Отрицательное основание не задаёт действительную показательную функцию на всей прямой, а нулевое имеет ограничения; в этой статье основания всегда положительны и не равны единице.

Графики 2 в степени x и одной второй в степени x проходят через единицу при x=0; первый растёт, второй убывает. — Рис. 1. Равные шаги показателя ведут в разные стороны при основаниях больше и меньше единицы.

Разобранный пример со степенью

Решим $(1/2)^{2 x - 1} \geq 1/8$ . Правую часть представляем с тем же основанием: $1/8 = (1/2)^{3}$ . Основание меньше единицы, поэтому $2 x - 1 \leq 3$ ; отсюда $x \leq 2$ . Ответ $(- \infty; 2]$ . В точке $2$ получаем равенство, при $x = 1$ левая часть $1/2$ больше $1/8$ , при $x = 3$ значение $1/32$ уже меньше $1/8$ .

Если степени имеют разные основания, сначала обосновываем приведение к одному основанию или выбираем другой допустимый способ. Из $2^{x} > 3^{x}$ нельзя просто удалить основания. Здесь деление на положительное $3^{x}$ даёт $(2/3)^{x} > 1 = (2/3)^{0}$ и, поскольку основание меньше единицы, $x < 0$ .

Логарифм и его область определения

Для $a > 0$ , $a \neq = 1$ логарифмическая зависимость $lo g_{a} t$ определена при $t > 0$ ; при $a > 1$ она строго возрастает, при $0 < a < 1$ строго убывает.

Направление следует из определения логарифма как показателя степени. При $a > 1$ большему показателю соответствует больший положительный аргумент, поэтому и большему аргументу соответствует больший логарифм. При основании меньше единицы оба порядка противоположны. Таким образом, для $F (x) > 0$ и $G (x) > 0$ можно сравнивать аргументы, сохраняя знак при $a > 1$ и обращая при $0 < a < 1$ . Эти ограничения не исчезают после перехода к алгебраическому условию.

Разберём $lo g_{1/2} (x - 1) \geq - 1$ . Сначала $x - 1 > 0$ , то есть $x > 1$ . Число $- 1$ представляем как $lo g_{1/2} 2$ , поскольку $(1/2)^{- 1} = 2$ . Убывание логарифма даёт $x - 1 \leq 2$ , то есть $x \leq 3$ . Пересечение с областью определения:

lo g_{1/2} (x - 1) \geq - 1 ⟺ 1 < x \leq 3.

Область x больше единицы пересекается с условием x не больше трёх; убывающий логарифм даёт полуинтервал с открытой левой и закрытой правой границей. — Рис. 2. Левая граница исключена областью логарифма, правая включена нестрогим сравнением.

Проверка $x = 2$ даёт $0 \geq - 1$ , а $x = 3$ — равенство. При $x = 1$ логарифм вообще не существует. Ошибочный ответ $(- \infty; 3]$ получился бы из правильного сравнения аргументов, но без сохранения исходной области.

Замена переменной и возвращение к x

В $4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 \leq 0$ удобно положить $t = 2^{x}$ , обязательно $t > 0$ . Тогда $4^{x} = t^{2}$ и $(t - 1) (t - 4) \leq 0$ , откуда $1 \leq t \leq 4$ по знаку квадратного трёхчлена. Возвращаемся: $2^{0} \leq 2^{x} \leq 2^{2}$ , поэтому $0 \leq x \leq 2$ . Ответ $[0; 2]$ содержит все прообразы выбранного промежутка.

У замены $t = 2^{x}$ нет значений $t \leq 0$ . Если после решения вспомогательного неравенства получился отрицательный промежуток, он не даёт решений исходной задачи. Если внутри логарифма дробь или корень, сохраняются также их ограничения. Постоянное основание, область и обратное преобразование вместе определяют, корректно ли найдено всё множество решений.