Неравенства с двумя переменными и их системы: области на плоскости

Уравнение $x+y=4$ задаёт прямую, а неравенство $x+y\le 4$ допускает ещё целую часть плоскости. Теперь решением служит пара чисел: важно значение каждой координаты. Вспомним линейное уравнение с двумя переменными, смысл системы и квадратные неравенства.

Решение как точка плоскости

Решение неравенства с двумя переменными — допустимая упорядоченная пара значений, при подстановке которой неравенство становится верным числовым неравенством. Множество решений изображают соответствующими точками координатной плоскости.

В паре $(x;y)$ первое число задаёт горизонтальную координату, второе вертикальную. При одинаковом единичном масштабе точка $(1;2)$ находится на одну единицу вправо и на две вверх от начала. Для $x+y\le 4$ она подходит: $1+2=3\le 4$. Точка $(3;2)$ уже не подходит. Здесь не ищут только отдельные пары — между ними также могут находиться решения.

Граница $x+y=4$ проходит через $(0;4)$ и $(4;0)$. Выразим $y$: неравенство равносильно $y\le 4-x$. При фиксированном $x$ подходят все точки не выше соответствующей точки прямой. Так получаем полуплоскость вместе с граничной прямой. Для $y<4-x$ граница исключается и изображается пунктиром.

Как выбрать сторону границы

Для линейного условия $Ax+By+C\le 0$ при $(A;B)\ne (0;0)$ граница — прямая $Ax+By+C=0$. Если $B\ne 0$, выразим $y$ и учтём знак $B$, получая область выше или ниже прямой. Если $B=0$, неравенство ограничивает $x$ и даёт область слева или справа от вертикальной прямой. Это объясняет, почему прямая делит решения на одну из двух сторон.

Можно выбрать пробную точку вне границы и подставить её: сторона, содержащая точку, подходит тогда и только тогда, когда получилось верное сравнение. Для $x+y\le 4$ начало $(0;0)$ подходит, а для $x+y>4$ нет. Точку на самой границе для выбора стороны не используют: её подстановка не различает две полуплоскости. Этот способ обоснован для линейного условия; для произвольной кривой одной точки может быть недостаточно.

Система и практическое ограничение

Решим систему $x\ge 0$, $y\ge 0$, $x+y\le 4$. Первые две строки оставляют первую четверть вместе с осями, третья обрезает её прямой. Множество решений — треугольник с вершинами $(0;0)$, $(4;0)$, $(0;4)$, включая стороны и внутренность. Все границы включены нестрогими знаками. Проверка пары $(2;1)$ даёт три верных неравенства; пара $(-1;2)$ нарушает первое.

Если $x,y$ — массы двух видов смеси в килограммах, такая область описывает все допустимые составы общей массой не более $4$ кг. Если же $x,y$ — числа предметов, нужно дополнительно оставить только точки с целыми координатами. Закрашенная область сама по себе не вводит требование целочисленности. При словах «используют оба вида» понадобятся ещё $x>0$ и $y>0$.

Между параболой и прямой

Рассмотрим систему:

$$\{\begin{array}{l}y\ge x^2,\\ y\le x+2.\end{array}$$

Для заданного $x$ значение $y$ должно находиться между $x^2$ и $x+2$. Такая возможность существует тогда и только тогда, когда $x^2\le x+2$. Разложение $(x-2)(x+1)\le 0$ даёт $-1\le x\le 2$. При этих $x$ выбираем любое $y$ от нижней границы $x^2$ до верхней $x+2$.

Точное множество решений: все пары $(x;y)$ с $-1\le x\le 2$ и $x^2\le y\le x+2$. В точках $x=-1$ и $x=2$ границы совпадают, давая пары $(-1;1)$ и $(2;4)$. При $x=0$ подходят все $0\le y\le 2$. Ответ только $[-1;2]$ был бы неполным: это проекция области на горизонтальную ось, а не множество пар.

Если обе строки сделать строгими, пересечения исключатся и получится $-1<x<2$, $x^2<y<x+2$. Пунктир показывает исключённую границу, сплошная линия включённую. Форма области помогает понять ограничения, но координаты пересечений и включение каждого её края устанавливаются исходными условиями.