Расстояние на прямой и простейшие условия с модулем

На числовой прямой отмечен пункт с координатой $2$ . Требуется выбрать точки, удалённые от него не более чем на три единицы. Слева крайняя точка имеет координату $- 1$ , справа $5$ , а между ними расстояния меньше. Сначала решим задачу по рисунку; затем запишем её через модуль как расстояние. Для ответа используем промежутки.

Расстояние до заданной точки

Координата сообщает положение точки, расстояние — длину отрезка между двумя точками. Например, от $2$ до $5$ три единицы, и от $2$ до $- 1$ тоже три. Разность координат может быть отрицательной: $- 1 - 2 = - 3$ , но длина неотрицательна. Поэтому расстояние выражается модулем разности.

Расстояние между точками числовой прямой с координатами $x$ и $a$ равно $∣ x - a ∣$ .

Если $x \geq a$ , модуль равен $x - a$ — длине вправо. Если $x < a$ , он равен $a - x$ — длине влево. В обоих случаях это одно и то же расстояние независимо от порядка точек: $∣ x - a ∣ = ∣ a - x ∣$ . Единичный отрезок на рисунке должен быть одинаковым с обеих сторон выбранной точки.

От точки два до минус единицы и до пяти по три единицы; все точки между ними находятся не дальше трёх. — Рис. 1. Условия о расстоянии задают симметричные границы относительно центра.

Для начального чтения достаточно отметить центр, отложить заданное расстояние в обе стороны и выбрать нужную часть прямой. Алгебраическая запись следующей части обобщает тот же рисунок; она не требует новой геометрической идеи.

Внутри заданного расстояния

Пусть $r > 0$ . Условие «от $a$ не дальше $r$ » означает, что точка не левее $a - r$ и не правее $a + r$ :

∣ x - a ∣ \leq r ⟺ a - r \leq x \leq a + r .

Обоснуем обе стороны. Если $x \geq a$ , расстояние $x - a \leq r$ даёт $x \leq a + r$ ; левая граница при этом выполнена автоматически. Если $x < a$ , расстояние $a - x \leq r$ даёт $x \geq a - r$ , а правая граница автоматическая. Обратно, для любой точки внутри отрезка одно из этих двух выражений расстояния не превосходит $r$ . При строгом $∣ x - a ∣ < r$ обе границы исключаются.

В нашем примере $∣ x - 2∣ \leq 3$ равносильно $- 1 \leq x \leq 5$ , поэтому ответ $[- 1; 5]$ . Для $x = - 1$ и $x = 5$ расстояние равно $3$ , для $x = 0$ равно $2$ , а $x = 6$ даёт $4$ и не подходит. Если задано ровно три единицы, получаются только две точки: $∣ x - 2∣ = 3$ даёт ${- 1; 5}$ , а не весь отрезок.

Снаружи: две альтернативы

При условии «дальше $r$ от $a$ » точка лежит либо левее $a - r$ , либо правее $a + r$ :

r > 0 : ∣ x - a ∣ > r ⇕ x < a - r или x > a + r .

Если $x < a$ , расстояние $a - x > r$ даёт первую альтернативу; если $x \geq a$ , расстояние $x - a > r$ даёт вторую. И наоборот, каждая из альтернатив обеспечивает расстояние больше $r$ . Слово «или» существенно: одна точка не может одновременно находиться левее левой границы и правее правой.

Условию модуль x-2 больше трёх соответствуют два открытых луча: левее минус единицы и правее пяти. — Рис. 2. Для расстояния больше заданного берём объединение двух внешних лучей.

Для $∣ x - 2∣ > 3$ ответ $(- \infty; - 1) \cup (5; + \infty)$ . При $∣ x - 2∣ \geq 3$ обе крайние точки включаются: $(- \infty; - 1] \cup [5; + \infty)$ . Число $2$ находится в центре и не подходит внешнему условию. Запись $- 1 > x > 5$ не выражает два луча — она противоречива.

Нулевое и отрицательное расстояние

При $r = 0$ условие $∣ x - a ∣ \leq 0$ допускает только $x = a$ , а $∣ x - a ∣ < 0$ не имеет решений. Условие $∣ x - a ∣ > 0$ допускает все числа, кроме $a$ ; $∣ x - a ∣ \geq 0$ верно для всей прямой. При $r < 0$ сравнения $∣ x - a ∣ < r$ и $∣ x - a ∣ \leq r$ невозможны, а $∣ x - a ∣ > r$ и $∣ x - a ∣ \geq r$ верны при любом $x$ . Эти случаи следуют из неотрицательности расстояния, а не из построения «отрезка отрицательной длины».

Для расстояния не больше нуля остаётся центр; для расстояния строго больше нуля остаётся прямая с исключённым центром. — Рис. 3. Нулевой радиус меняет отрезок в точку, а внешнее условие — в прямую без этой точки.

Применение к допуску

Длина детали должна отличаться от $10$ см не более чем на $0, 2$ см. Если $l$ — числовое значение длины в сантиметрах, условие $∣ l - 10∣ \leq 0, 2$ даёт $9, 8 \leq l \leq 10, 2$ см. Обе предельные длины допустимы. Эта запись предполагает, что сравниваемые значения приведены к одной единице; складывать сантиметры с миллиметрами без перевода нельзя.

Для выражения $∣2 x - 4∣ < 6$ сначала используем $∣2 (x - 2) ∣ = 2∣ x - 2∣$ , затем делим на положительное $2$ : $∣ x - 2∣ < 3$ , ответ $(- 1; 5)$ . Коэффициент перед $x$ изменяет масштаб расстояния. Начинать построение с центра $4$ и радиуса $6$ прямо из исходной записи было бы ошибкой: расстояние до центра должно быть записано в форме $∣ x - a ∣$ .