Область определения, множество значений, нули и знак функции

Формулу нельзя применять к любому числу без проверки. У дроби может обратиться в ноль знаменатель, а у квадратного корня — стать отрицательным подкоренное выражение. Начнём с понятия функции, промежутков и арифметического корня.

Какие числа разрешены на входе

Область определения функции — множество всех допустимых значений её аргумента. Множество значений функции — множество всех чисел, которые получаются при допустимых аргументах.

Область определения обозначим $D(f)$, множество значений — $E(f)$. Буква $D$ относится к аргументам на горизонтальной оси, $E$ — к результатам на вертикальной. Если область не задана отдельно, для формулы ищут все действительные аргументы, при которых указанные действия имеют смысл.

Рассмотрим пример:

$$f(x)=\sqrt{x+1}-2.$$

Корень существует при неотрицательном подкоренном выражении. Условие равносильно нижней границе аргумента:

$$\begin{array}{rl}x+1& \ge 0,\\ x& \ge -1.\end{array}$$

Поэтому область определения — $[-1;+\infty )$. Точка $-1$ включена: корень из нуля существует. Знак бесконечности обозначает неограниченное продолжение, а не допустимое число.

Какие значения действительно получаются

Корень неотрицателен, следовательно, наша функция не меньше $-2$. Эта граница достигается при $x=-1$. Но одной оценки мало: нужно убедиться, что получаются все числа выше неё.

Пусть выбрано любое $y\ge -2$. Тогда число $y+2$ неотрицательно. Возьмём аргумент:

$$x=(y+2{)}^2-1.$$

Он не меньше $-1$, а корень из его суммы с единицей равен $y+2$. Подстановка даёт именно выбранное $y$. Поэтому множество значений полностью описывается промежутком $[-2;+\infty )$.

Нули и участки знака

Нуль функции — аргумент, при котором значение функции равно нулю. На промежутке положительности значения функции больше нуля, на промежутке отрицательности — меньше нуля.

Для нашего примера решаем уравнение:

$$\begin{array}{rl}\sqrt{x+1}& =2,\\ x+1& =4,\\ x& =3.\end{array}$$

Обе части первой строки неотрицательны, поэтому возведение в квадрат здесь обратимо. Аргумент $3$ допустим, и подстановка даёт ноль. До него, начиная с $-1$, корень меньше $2$, поэтому функция отрицательна. После него функция положительна. Точка $3$ не входит ни в один из промежутков строгого знака.

На графике нули находятся на оси $Ox$, положительные значения — выше неё, отрицательные — ниже. Нуль функции — первая координата точки пересечения, а не её высота.

Сокращение не заполняет отверстие

Рассмотрим другую формулу:

$$g(x)=\frac{x^2-1}{x-1}.$$

Аргумент $1$ запрещён из-за знаменателя. При остальных аргументах разложение числителя и сокращение дают $g(x)=x+1$. Значит, график — прямая с удалённой точкой $(1;2)$.

Область содержит все действительные числа, кроме $1$; множество значений — все действительные числа, кроме $2$. Другой аргумент не может дать $2$. Для такой высоты потребовалось бы:

$$\begin{array}{rl}x+1& =2,\\ x& =1.\end{array}$$

Но этот аргумент запрещён. Если же формулу $x+1$ заново задать на всей прямой, это будет другая функция. Одинаковые выражения на допустимых аргументах не отменяют различие областей.