Функция, аргумент, значение и способы задания

Для выбранного времени движения правило определяет один путь. А для выбранного человека можно назвать несколько любимых книг. Обе ситуации связывают объекты, но только первая автоматически задаёт одно значение при каждом входе. Уточним это различие, используя координатную плоскость и выражения с переменной.

Один аргумент — одно значение

Числовая функция — зависимость, при которой каждому числу из заданного множества соответствует ровно одно число. Независимую переменную называют аргументом, соответствующее число — значением функции.

Аргумент обычно обозначают $x$ , значение — $y$ . Самому правилу дают имя $f$ и пишут:

y = f (x) .

Запись $f (x)$ читается «эф от икс». Она означает результат применения правила к аргументу, а не произведение букв. Множество разрешённых аргументов тоже входит в задание функции: одинаковая формула на разных множествах описывает разные функции.

Два аргумента могут дать одно значение. Например, правило возведения в квадрат отправляет и $- 2$ , и $2$ в число $4$ . Это допустимо. Запрет относится к обратной ситуации: один и тот же аргумент не должен одновременно давать два разных значения.

Два разных входа имеют один общий выход; в соседней схеме один вход получает два выхода, поэтому зависимость не является функцией. — Рис. 1. Однозначность проверяем у каждого входа, а не у каждого выхода.

Значение по формуле

Пусть на всех действительных числах задано правило:

f (x) = x^{2} - 1.

Найдём значение при аргументе $- 2$ . Вместо каждого $x$ подставляем это число со скобками:

f (- 2) = (- 2)^{2} - 1, = 4 - 1 = 3.

Утверждение $f (- 2) = 3$ связывает аргумент $- 2$ со значением $3$ . Оно не говорит, что $- 2$ — единственный аргумент для этого значения: при $x = 2$ тоже получается $3$ . Найти значение по входу и найти все входы для заданного значения — разные задачи. Во второй требуется решать уравнение.

Способы задания

Функцию можно задать формулой, таблицей, графиком или словесным правилом. Таблица точно задаёт значения на перечисленных аргументах; продолжение на остальные числа нужно описывать отдельно. График задаёт функцию, если любая вертикальная прямая пересекает его не более чем в одной точке.

Почему работает эта проверка? У всех точек одной вертикали одинаковая первая координата. Две разные точки на ней означали бы два значения $y$ при одном $x$ . Поэтому окружность целиком не является графиком функции $y$ от $x$ : например, при абсциссе ноль у единичной окружности есть верхняя и нижняя точки. Каждая из её половин при подходящей области уже может задавать функцию.

Одно правило из нескольких частей

Не обязательно использовать одну формулу на всей области. Рассмотрим функцию:

f (x) = {- x, x + 1, x < 0, x \geq 0.

При отрицательном аргументе берём первую строку, при нулевом или положительном — вторую. Получаем $f (- 2) = 2$ , а $f (0) = 1$ . Ноль принадлежит только второй части условия, поэтому значение в нём однозначно. Условия частей должны охватывать всю объявленную область и не давать противоречащих значений на пересечении.

Слева от нуля проведён луч y=-x с пустой точкой (0;0), справа луч y=x+1 с закрашенной точкой (0;1). — Рис. 2. Пустая точка показывает исключённую границу ветви; закрашенная задаёт действительное значение функции в нуле.

На этом графике есть скачок, но функция определена при каждом действительном аргументе. Непрерывность и однозначность — разные свойства: чтобы называться функцией, зависимость не обязана изображаться одной непрерывной линией.