Прямая пропорциональность и линейная функция

При покупке одинаковых карандашей без скидок общая стоимость растёт на цену одного карандаша при каждой новой покупке. Если появляется отдельная плата за доставку, начальная стоимость уже не нулевая. Обе зависимости удобно сравнить через понятие функции и прямую пропорциональность величин.

Через начало координат

Функция вида $y = k x$ , где $k$ — постоянное ненулевое число, называется прямой пропорциональностью. Её график — прямая, проходящая через начало координат.

Для ненулевого аргумента отношение значения к аргументу равно одному и тому же коэффициенту $k$ . При умножении аргумента на число значение умножается на него же. Формула определена при всех действительных аргументах; в задаче о покупке оставляют только целые неотрицательные количества.

Почему получается прямая? Для любых двух точек изменение значения равно $k$ изменения аргумента. При движении по оси $x$ на одну единицу высота каждый раз меняется на $k$ . Такой постоянный шаг задаёт одно направление. Для построения достаточно начала и ещё одной точки с ненулевой абсциссой. При $k = 0$ тоже получается прямая — ось $O x$ , но это постоянная функция, а не прямая пропорциональность в принятом здесь определении.

Наклон и начальное значение

Линейная функция задаётся формулой $y = k x + b$ , где $k$ и $b$ — постоянные действительные числа. Её график — прямая; при $k = 0$ она горизонтальна.

Коэффициент $b$ равен значению при нулевом аргументе. Поэтому точка $(0; b)$ лежит на графике. Добавление $b$ к значениям прямой пропорциональности сдвигает каждую её точку по вертикали на одну и ту же величину.

Коэффициент $k$ описывает изменение высоты при увеличении аргумента на единицу. Для двух аргументов:

f (x_{2}) - f (x_{1}) = k (x_{2} - x_{1}) .

Если первый аргумент меньше второго, разность аргументов положительна. При положительном коэффициенте значение увеличивается. При отрицательном — уменьшается, при нулевом — остаётся прежним. Геометрический угол на рисунке зависит ещё и от масштабов осей; величина $k$ определяется числовыми изменениями, а не видимым углом.

На одинаковых осях изображены y=2x, y=2x+1 и горизонтальная прямая y=1; подписи отмечают начальные значения. — Рис. 1. Одинаковые коэффициенты при $x$ дают одинаковое направление; свободное слагаемое меняет высоту.

Строим и проверяем

Построим график:

y = 2 x + 1.

При нулевом аргументе получаем $1$ , при аргументе $1$ — $3$ . Через точки $(0; 1)$ и $(1; 3)$ проводим прямую. Проверим дополнительную точку: при $x = - 1$ значение равно $- 1$ , поэтому точка $(- 1; - 1)$ должна лежать на той же линии.

Найдём пересечение с осью $O x$ . На ней значение равно нулю, поэтому решаем:

2 x + 1 x = 0, = - \frac{1}{2} .

Нуль функции равен $- 1/2$ , точка пересечения — $(- 1/2; 0)$ . Это разные способы назвать один факт: сначала аргумент, затем полную пару координат.

От точки (0;1) переходят к (1;3): горизонтальное изменение равно одному, вертикальное двум. — Рис. 2. Отношение вертикального изменения к горизонтальному даёт коэффициент $2$ .

Линейная модель в задаче

Доставка стоит $100$ рублей плюс $40$ рублей за килограмм. Если $m$ — масса в килограммах, стоимость в рублях задаётся правилом:

C = 100 + 40 m .

При массе $2$ кг стоимость $180$ рублей, при $4$ кг — $260$ рублей. Удвоение массы не удвоило стоимость: фиксированная плата осталась прежней. Поэтому зависимость линейная, но не прямо пропорциональная. В модели массы неотрицательны, а условия службы могут дополнительно ограничить их сверху. Прямая на всей плоскости описывает формулу; применимая часть графика определяется условиями задачи.