Обратная пропорциональность и гипербола

Прямоугольная площадка имеет постоянную площадь $12$ м². Если одну сторону увеличить, другую придётся уменьшить. Здесь сохраняется произведение величин, а не их отношение. Для графика используем область определения функции и смысл обратной пропорциональности.

Постоянное произведение

Обратная пропорциональность задаётся функцией $y = k / x$ , где $k \neq = 0$ , а аргумент $x \neq = 0$ . Произведение аргумента и значения функции равно $k$ . График этой функции называется гиперболой.

Для площадки длину обозначим $a$ , ширину — $b$ , обе в метрах. Из постоянной площади получаем:

b = \frac{12}{a}, a > 0.

Если длина $3$ м, ширина $4$ м. Если длина $6$ м, ширина $2$ м. Удвоение одной стороны уменьшает другую вдвое. Нулевая длина невозможна и по смыслу, и из-за деления; отрицательные значения допустимы в абстрактной формуле, но не в этой геометрической задаче.

График b=12/a для положительных сторон проходит через точки (3;4) и (6;2); отмечены две пары сторон площадки с площадью 12 квадратных метров. — Рис. 1. Положительная ветвь описывает стороны площадки, отрицательная в эту модель не входит.

Две ветви и два исключения

Построим абстрактную функцию:

y = \frac{6}{x} .

Точки $(2; 3)$ и $(3; 2)$ лежат в первой четверти, $(- 2; - 3)$ и $(- 3; - 2)$ — в третьей. При положительном коэффициенте аргумент и значение имеют одинаковые знаки. При отрицательном коэффициенте знаки противоположны, и ветви располагаются во второй и четвёртой четвертях.

Область определения содержит все действительные числа, кроме нуля. Множество значений тоже исключает ноль. Действительно, дробь с ненулевым числителем не равна нулю; для любого другого значения можно взять аргумент:

x = \frac{k}{y} .

Он ненулевой и при подстановке даёт выбранное значение. Таким образом, получаются все ненулевые значения.

Две отдельные ветви y=6/x размещены в первой и третьей четвертях; показаны оси, к которым кривая приближается. — Рис. 2. В нуле нет точки графика, поэтому ветви не соединяют через ось $O y$ .

Как меняются значения

Для положительных аргументов больший знаменатель при положительном числителе даёт меньшую дробь. Это рассуждение можно распространить на любую пару аргументов одного знака. Пусть первый меньше второго. Разность значений равна:

\frac{k}{x _{2}} - \frac{k}{x _{1}} = \frac{k ( x _{1} - x _{2} )}{x _{1} x _{2}} .

Если аргументы одного знака, произведение в знаменателе положительно. Разность аргументов в числителе отрицательна. При $k > 0$ разность значений отрицательна: на каждом из двух лучей функция убывает. При $k < 0$ она возрастает на каждом луче.

Но нельзя назвать функцию с положительным коэффициентом убывающей на всей её области. Например, аргумент $- 1$ меньше $1$ , тогда как значения равны $- 6$ и $6$ : значение увеличилось. Два промежутка монотонности нужно рассматривать отдельно.

Приближение к осям

При больших по модулю аргументах значение становится малым по модулю. Например, для коэффициента $6$ при аргументе $60$ получаем $0, 1$ , при $600$ — $0, 01$ . Достичь нулевого значения нельзя. Если положительный аргумент приближается к нулю, значения, наоборот, растут без ограничения.

Оси называют асимптотами этой гиперболы: к ним кривая приближается указанным образом. Это описание поведения, а не разрешение дорисовать точку в нуле. При $k = 0$ формула $0/ x$ дала бы нулевые значения только при ненулевых аргументах — ось с удалённым началом, а не гиперболу и не автоматически функцию на всей прямой.