Квадратичная функция: вершина, ось и ветви параболы

Парабола может быть сдвинута и направлена ветвями вниз. Чтобы построить её, важнее найти центральную точку и симметрию, чем вычислять много случайных значений. Используем график квадрата, выделение полного квадрата и квадратное уравнение.

Выделяем главный квадрат

Квадратичная функция задаётся формулой $y = a x^{2} + b x + c$ , где коэффициенты действительны и $a \neq = 0$ . Её график — парабола.

Область определения — вся действительная прямая: здесь только умножение и сложение. Выделение полного квадрата позволяет переписать формулу:

f (x) h v = a (x - h)^{2} + v, = - \frac{b}{2 a}, = f (h) .

Буквы $h$ и $v$ обозначают координаты вершины. Деление на $a$ допустимо благодаря условию ненулевого старшего коэффициента. Если он нулевой, исходная запись задаёт линейную или постоянную функцию; формулу вершины применять нельзя.

Вершина, ось и направление

У параболы $y = a (x - h)^{2} + v$ вершина имеет координаты $(h; v)$ , ось симметрии задаётся равенством $x = h$ . При $a > 0$ ветви направлены вверх, при $a < 0$ — вниз.

Аргументы $h - d$ и $h + d$ дают одинаковый квадрат $d^{2}$ , значит, одинаковую высоту. Это доказывает симметрию, не зависящую от точности рисунка. В самой вершине квадрат нулевой. При положительном коэффициенте любое отклонение увеличивает значение, при отрицательном — уменьшает.

Квадрат отклонения может принимать любое неотрицательное значение. Поэтому при положительном коэффициенте $a$ множество значений начинается с $v$ и продолжается вверх без ограничения. При отрицательном коэффициенте оно заканчивается значением $v$ и продолжается вниз. Координата $h$ указывает, где достигается крайнее значение, а $v$ — чему оно равно.

Полный пример построения

Пусть задана функция:

f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 6, = 2 (x - 2)^{2} - 2.

Вершина — $(2; - 2)$ , ось симметрии — вертикаль через $2$ , ветви направлены вверх. При аргументах $1$ и $3$ значение нулевое, при $0$ и $4$ равно $6$ . Эти пары симметричны относительно оси. В частности, $(0; 6)$ даёт пересечение с осью $O y$ .

Чтобы найти нули точно, приравниваем выделенный квадрат к единице. Получаем оба аргумента, $1$ и $3$ . По ним и вершине строим согласованный эскиз; между нулями график ниже оси $O x$ , вне них — выше. Множество значений всей функции — $[- 2; + \infty)$ .

Парабола 2(x-2)²-2 имеет вершину (2;-2), ось x=2, нули 1 и 3 и симметричные точки (0;6),(4;6). — Рис. 1. Вершина, нули и симметричные точки определяют главные особенности эскиза.

Что меняет коэффициент

При одинаковом отклонении от оси модуль вертикального изменения равен модулю $a$ , умноженному на квадрат отклонения. Если модуль коэффициента больше, при том же горизонтальном шаге высота меняется сильнее; парабола выглядит уже при одинаковом масштабе осей. Отрицательный коэффициент отражает направление ветвей.

На одинаковой сетке сравниваются параболы y=x², y=2x² и y=-x² с общей вершиной. — Рис. 2. Сравниваем одинаковые аргументы, чтобы увидеть изменение высоты и направления.

Если в примере ограничить аргументы отрезком $[0; 3]$ , множество значений изменится. Минимум остаётся $- 2$ в вершине, а наибольшее отклонение от оси на этом отрезке достигается при $0$ , где значение $6$ . Получаем $[- 2; 6]$ . Значение на правой границе равно нулю и не является максимумом. График функции и график её ограничения нужно различать.