Модуль и его график

Расстояние от числа до нуля не бывает отрицательным. Поэтому аргументы $- 3$ и $3$ дают одну и ту же высоту $3$ , если изобразить их расстояние графиком. Начнём со смысла модуля на прямой и однозначности функции.

Почему получается угол

Функция модуля задаёт каждому действительному аргументу его расстояние от нуля: $y = ∣ x ∣$ . Она определена на всей действительной прямой и принимает все неотрицательные значения.

На правом луче расстояние совпадает с самим числом. На левом отрицательное число нужно взять с противоположным знаком, чтобы получить положительное расстояние. Поэтому правило можно записать по частям:

∣ x ∣ = {- x, x, x < 0, x \geq 0.

При нуле обе формулы дали бы ноль; выбранная запись относит границу к одной строке. На каждой стороне график совпадает с лучом прямой. Эти лучи встречаются в начале координат и образуют угол, а не плавную параболу.

График y=|x| состоит из луча y=-x слева от нуля и луча y=x справа; точки (-3;3) и (3;3) лежат на одной высоте. — Рис. 1. Противоположные аргументы дают одинаковые расстояния.

Что читаем по графику

Единственный нуль функции — аргумент $0$ . При остальных аргументах значение положительно. Слева от нуля при увеличении аргумента расстояние уменьшается; справа увеличивается. Наименьшее значение равно нулю, наибольшего нет: расстояние можно сделать сколь угодно большим.

Симметрия относительно оси $O y$ следует из равенства расстояний противоположных чисел. Чтобы построить график, достаточно начала координат и одной точки на каждом луче, например $(- 1; 1)$ и $(1; 1)$ . Остальные точки определяются формулами прямых, а не предположением, что между несколькими точками обязательно проходит нужная кривая.

Найти все аргументы

Решим условие:

∣ x ∣ = 2.

На правом луче значение $2$ достигается при аргументе $2$ , на левом — при $- 2$ . Других точек с такой высотой нет. Получаем два решения. Если вместо $2$ справа поставить $- 2$ , решений не будет: расстояние неотрицательно. Это не вопрос выбора знака перед ответом, а ограничение множества значений самой функции.

Для условия $∣ x ∣ < 2$ подходят аргументы между $- 2$ и $2$ без границ. Точки вне этого интервала находятся дальше двух единиц от нуля. Строгий знак исключает обе граничные точки, хотя они существуют на графике.

Расстояние до другой точки

Чтобы измерять расстояние от числа до точки $2$ , берём модуль разности:

y = ∣ x - 2∣.

Нулевое расстояние достигается теперь при $x = 2$ . Влево и вправо от этой точки график снова состоит из лучей с единичным изменением высоты. Например, при $x = - 1$ получаем расстояние $3$ , при $x = 5$ — тоже $3$ .

График y=|x-2| имеет вершину (2;0); точки с аргументами -1 и 5 расположены на одинаковой высоте 3. — Рис. 2. Центр расстояния сдвигает вершину, сохраняя два симметричных луча.

В условии $∣ x - 2∣ = 3$ получаем аргументы $- 1$ и $5$ . Нельзя без условий заменить модуль записью:

y = \pm (x - 2) .

Она позволила бы два значения при одном аргументе и дала бы лишние части прямых. Каждая ветвь выбирается по стороне от центра расстояния. Более общие условия с границами разобраны в статье о расстоянии и модуле.