Преобразования графиков: сдвиг, отражение и изменение масштаба

Если известна парабола, не нужно заново вычислять все точки после каждого изменения формулы. Можно понять, куда переходит любая её точка. Начнём с линейных графиков, квадрата и корня и вершины параболы.

Перемещение без изменения формы

Пусть точка $(u; f (u))$ лежит на исходном графике. Если ко всем значениям добавить число $v$ , она перейдёт в точку $(u; f (u) + v)$ . Аргумент остаётся прежним, а высота меняется одинаково у всех точек.

График $y = f (x) + v$ получается из графика $y = f (x)$ сдвигом по вертикали на $v$ . График $y = f (x - h)$ получается сдвигом по горизонтали на $h$ : при $h > 0$ вправо, при $h < 0$ влево.

Горизонтальный сдвиг требует осторожности. Чтобы получить прежнее значение $f (u)$ в новой формуле, решаем условие:

x - h x = u, = u + h .

Это новая абсцисса той же высоты. Поэтому минус внутри скобок при положительном $h$ даёт движение вправо.

Парабола y=x² и её сдвиг y=(x-1)²+2 показаны на общей сетке; вершина переходит из (0;0) в (1;2). — Рис. 1. Преобразование точки объясняет знак сдвига, а не только расположение вершины.

Отражение и вертикальный масштаб

Умножение всех значений на $- 1$ меняет знак ординаты. Получается отражение относительно оси $O x$ . Замена аргумента на противоположный меняет знак абсциссы: график $y = f (- x)$ отражает исходный относительно оси $O y$ .

Для правила $y = c f (x)$ ордината любой точки умножается на $c$ . При положительном коэффициенте сохраняется сторона от оси $O x$ , при отрицательном добавляется отражение. Модуль коэффициента больше единицы увеличивает высоты по модулю, меньше единицы уменьшает. При нулевом коэффициенте получается нулевое значение на прежней области определения: умножение не делает запрещённые аргументы разрешёнными.

На одинаковых осях графики y=x³, y=-x³ и y=2x³ различаются отражением и вертикальным растяжением; подписаны соответствующие точки при x=1. — Рис. 2. Меняем ординату точки, сохраняя её абсциссу.

Масштаб внутри аргумента

Рассмотрим график $y = f (k x)$ при ненулевом $k$ . Чтобы получить значение $f (u)$ , решаем:

k x = u .

Точка переходит по правилу:

(u; f (u)) \mapsto (\frac{u}{k}; f (u)) .

При $k = 2$ абсциссы делятся на два: происходит горизонтальное сжатие к оси $O y$ , а не растяжение. При $k = 1/2$ абсциссы удваиваются. Отрицательный коэффициент дополнительно отражает точки относительно вертикальной оси. Если $k = 0$ , формула даёт постоянное $f (0)$ только когда исходное правило определено в нуле; это отдельный случай, делить координаты на ноль нельзя.

Графики y=|x| и y=|2x| сравниваются по точкам одинаковой высоты: (2;2) переходит в (1;2). — Рис. 3. Горизонтальное преобразование удобно проверять на одинаковой высоте.

Собираем несколько действий

Построим функцию:

g (x) = - 2 (x - 1)^{2} + 3.

Исходная парабола имеет точки $(u; u^{2})$ . Сначала аргумент новой точки становится $u + 1$ . Затем прежнюю высоту умножаем на $- 2$ и прибавляем $3$ :

x y = u + 1, = 3 - 2 u^{2} .

Вершина переходит в $(1; 3)$ . Точки с прежними аргументами $- 1$ и $1$ дают новые точки $(0; 1)$ и $(2; 1)$ . Ветви направлены вниз, ось проходит через $1$ , наибольшее значение равно $3$ .

Порядок действий имеет значение. Если сначала прибавить $3$ , а затем умножить всю высоту на $- 2$ , получится другая функция: свободное слагаемое станет $- 6$ . Область тоже преобразуется по правилу аргумента. Например, для корня $x - 1$ требуется $x \geq 1$ ; сдвинутый график начинается в новой точке, а не продолжается на запрещённые числа.