Возрастание, убывание, экстремумы и наибольшее значение

График может идти вверх на одном участке и вниз на другом. Его верхняя точка в небольшой окрестности не обязательно выше всех остальных точек. Уточним эти различия на параболе, сохраняя её область определения.

Сравниваем любую пару аргументов

Функция возрастает на промежутке, если для любых двух его аргументов из неравенства $x_{1} < x_{2}$ следует $f (x_{1}) < f (x_{2})$ . Она убывает, если при тех же аргументах $f (x_{1}) > f (x_{2})$ .

Это строгая монотонность. Для неубывающей функции вместо строгого сравнения значений используют нестрогое: значения могут оставаться одинаковыми. Горизонтальный участок не является участком строгого возрастания или убывания.

Проверка относится к любой паре внутри указанного промежутка. Несколько подстановок помогают заметить ошибку, но не доказывают общее свойство. При чтении точного заданного графика сравнивают высоты точек слева направо; для формулы свойство можно обосновать алгебраически.

Возьмём пример:

q (x) = - (x - 1)^{2} + 4.

При движении к аргументу $1$ слева расстояние до него уменьшается. Квадрат расстояния уменьшается, а его противоположное значение увеличивается. Поэтому функция возрастает на $(- \infty; 1]$ . Справа расстояние растёт, значение уменьшается: на $[1; + \infty)$ функция убывает. Включение вершины не нарушает строгого сравнения любых двух разных аргументов на каждом из этих промежутков.

Парабола -(x-1)²+4 возрастает до вершины (1;4) и убывает после неё; направления подписаны словами. — Рис. 1. В точке смены направления значение сравнивают с соседними точками.

Локальный экстремум

Точка локального максимума — внутренняя точка области, в некоторой окрестности которой значение функции не меньше всех соседних значений. Для локального минимума оно не больше соседних значений. Эти точки называют точками экстремума.

Здесь используется нестрогое сравнение и рассматриваются внутренние точки; границы промежутка проверяем отдельно как кандидатов на глобальные крайние значения. При строгом локальном экстремуме все соседние значения в выбранной окрестности, кроме самой точки, строго отличаются в нужную сторону. Вершина нашего примера даёт строгий максимум: при любом ненулевом отклонении квадрат положителен, поэтому значение меньше $4$ .

Точка экстремума — аргумент $1$ , значение в ней — $4$ , а точка графика — пара $(1; 4)$ . Не смешиваем эти три записи. Наличие локального максимума сообщает о ближайших значениях, но само по себе не устанавливает, что дальше нет более высокой части графика.

Кусочно-линейный график имеет локальную вершину (1;2), но на правой границе достигает большей высоты 4. — Рис. 2. Локальная вершина сравнивается с соседями; глобальный максимум — со всей заданной областью.

Крайние значения на промежутке

Наибольшее значение функции на заданном множестве аргументов — достигнутое значение, не меньшее всех остальных её значений на этом множестве. Наименьшее определяется обратным сравнением.

Исследуем $q$ только на отрезке $[- 1; 4]$ . Вершина входит в отрезок, значит, максимум равен $4$ и достигается при аргументе $1$ . Для минимума нужно наибольшее расстояние до $1$ . Левая граница находится от него на расстоянии $2$ , правая — на расстоянии $3$ . Вычисляем:

q (- 1) q (1) q (4) = 0, = 4, = - 5.

Наименьшее значение равно $- 5$ , достигается при аргументе $4$ . Такой вывод использует свойства этой параболы; проверять только концы произвольной функции недостаточно. Внутри может быть и минимум, и максимум.

Граница может не достигаться

Функция $y = x$ на открытом промежутке $(0; 1)$ принимает значения между нулём и единицей. Но ни ноль, ни единица не достигаются. Наибольшего значения нет: для любого допустимого аргумента можно взять число между ним и единицей, которое даст большее значение. Наименьшего тоже нет.

Отрезок прямой y=x на открытом промежутке от нуля до единицы имеет пустые точки в обеих границах. — Рис. 3. Высота границы рисунка ещё не является значением функции.

Исключённая точка, разрыв или неограниченная область требуют отдельной проверки. Общие теоремы о непрерывных функциях и исследование с помощью производной изучаются позднее; здесь вывод должен опираться на область и свойства конкретного правила.