Логарифмическая функция и её связь с показательной

У показательной функции аргумент сообщает, сколько раз происходит степенное изменение. Можно задать обратный вопрос: какой показатель нужен для выбранного положительного результата? Он приводит к логарифмической функции. Используем определение логарифма, обратное правило и показательную функцию.

Меняем вход и выход

Логарифмическая функция сопоставляет положительному аргументу показатель, в который нужно возвести основание, чтобы получить этот аргумент. Основание — фиксированное положительное число, отличное от единицы.

Формула функции и её условия:

y a x = lo g_{a} x, > 0, a \neq = 1, > 0.

Поэтому определяющая связь имеет вид:

y = lo g_{a} x ⟺ a^{y} = x .

Показательная функция строго монотонна и принимает все положительные значения. Значит, каждому положительному $x$ соответствует ровно один показатель. Область определения логарифмической функции — положительный луч, множество значений — вся действительная прямая. Эти утверждения опираются на свойства полного действительного показательного семейства, которые в предыдущей статье приняты без подробного доказательства.

Строим характерные точки

Для основания $2$ получаем:

Аргумент $x$	Значение $lo g_{2} x$
$1/2$	$- 1$
$1$	$0$
$2$	$1$
$4$	$2$

Например, отрицательное значение при аргументе $1/2$ допустимо: отрицателен показатель, а не сам аргумент логарифма. Все графики проходят через $(1; 0)$ , поскольку нулевая степень любого допустимого основания равна единице.

Графики log₂x и log_(1/2)x проходят через (1;0); оба существуют только справа от вертикальной оси. — Рис. 1. Положительность аргумента не требует положительности значения логарифма.

Рост, убывание и знак

При основании больше единицы показательная функция возрастает. Чтобы получить больший положительный результат, нужен больший показатель, поэтому обратная логарифмическая функция тоже возрастает. При основании между нулём и единицей больший результат требует меньшего показателя — логарифмическая функция убывает.

Это рассуждение переносит порядок через однозначное обратное правило, а не выводит свойство из нескольких точек. Единственный нуль логарифмической функции — аргумент $1$ . При основании больше единицы на промежутке $(0; 1)$ значения отрицательны, после $1$ положительны. При основании между нулём и единицей знаки меняются местами.

Вертикальная ось — асимптота: при приближении аргумента к нулю справа значения уходят без ограничения вниз для основания больше единицы и вверх для меньшего основания. В нуле точки графика нет. В отличие от показательной функции, у логарифмической нет горизонтальной асимптоты.

Отражение двух графиков

В определяющей связи показатели и результаты меняются ролями. Соответствие точек записываем отдельно:

показательная : логарифмическая : (u; a^{u}), (a^{u}; u) .

Поэтому графики отражены относительно прямой $y = x$ при одинаковых масштабах осей.

На одной плоскости графики y=2^x и y=log₂x отражены относительно прямой y=x; отмечены точки (1;2),(2;1). — Рис. 2. Меняются местами координаты, а вместе с ними — область определения и множество значений.

Из отражения не следует совпадение функций. Показательная принимает аргумент $0$ и даёт $1$ ; логарифмическая принимает аргумент $1$ и даёт $0$ . Условие существования обратной функции также объясняет запрет основания $1$ : постоянное правило не позволяет восстановить единственный показатель.

Сдвинутая функция

Исследуем пример:

g (x) = lo g_{2} (x - 1) .

Аргумент самого логарифма должен быть положительным, поэтому $x > 1$ . График исходного логарифма сдвигается вправо на единицу. Чтобы найти нуль, приравниваем аргумент логарифма к единице: получаем $x = 2$ . При $x = 5$ выражение под логарифмом равно $4$ , поэтому значение $2$ .

Между $1$ и $2$ функция отрицательна, после $2$ положительна; вертикальная асимптота теперь проходит через аргумент $1$ . Запись «логарифм равен нулю» не означает, что его аргумент нулевой. Важен порядок действий: сначала проверяем допустимость выражения, затем вычисляем значение или решаем требуемое условие.