Показательная функция: рост и убывание

При одинаковом приросте времени одна величина может получать одинаковую прибавку, а другая — умножаться на одинаковое число. Первую зависимость описывает прямая, вторую — показательная функция. Понадобятся степени, монотонность и сравнение показательных выражений.

Основание постоянно, показатель меняется

Показательная функция задаётся формулой $y = a^{x}$ , где основание $a > 0$ и $a \neq = 1$ постоянно, а аргумент $x$ находится в показателе степени. Она определена при всех действительных аргументах и принимает все положительные значения.

Это отличается от степенной функции: в ней переменной было основание, а показатель оставался фиксированным. У показательной функции значение в нуле всегда равно $1$ , поэтому все её графики проходят через точку $(0; 1)$ . Нулевого значения нет: степень положительного основания положительна.

Для основания $2$ выберем несколько аргументов:

$x$	$2^{x}$
$- 2$	$1/4$
$- 1$	$1/2$
$0$	$1$
$1$	$2$
$2$	$4$

При увеличении аргумента на единицу каждое значение удваивается. У функции с основанием $1/2$ в тех же точках получаются $4$ , $2$ , $1$ , $1/2$ , $1/4$ : значения уменьшаются вдвое.

На одинаковой сетке показаны графики 2^x и (1/2)^x; оба проходят через (0;1), но направлены по-разному. — Рис. 1. Основание больше единицы даёт рост, между нулём и единицей — убывание.

Почему направление зависит от основания

Показательная функция возрастает при $a > 1$ и убывает при $0 < a < 1$ . Горизонтальная ось является её асимптотой: значения приближаются к нулю в одном направлении, но не достигают его.

Для рациональных показателей направление объясняется свойствами степеней. Если второй аргумент больше первого, их разность положительна. Отношение значений равно степени основания с этой разностью в показателе:

\frac{a ^{x_{2}}}{a ^{x_{1}}} = a^{x_{2} - x_{1}} .

При $a > 1$ положительная рациональная степень больше единицы, поэтому второе значение больше первого. При основании между нулём и единицей — меньше единицы, поэтому второе значение меньше. Это проверяет не только соседние целые аргументы.

Для всех действительных показателей используют непрерывное продолжение степени. Его строгое построение, а также обоснование получения всех положительных значений здесь принимаются без доказательства; они требуют более подробной теории действительных чисел и непрерывности. Таблица и эскиз иллюстрируют свойства, но не заменяют это обоснование.

Модель с постоянным множителем

Пусть в условной модели количество некоторого вещества за час увеличивается в $1, 5$ раза. Начальное количество — $80$ мг. Для первых трёх часов примем непрерывное показательное правило:

N (t) = 80 (\frac{3}{2})^{t}, 0 \leq t \leq 3.

Здесь $t$ измеряется в часах, $N$ — в миллиграммах. Получаем $120$ мг через час, $180$ мг через два часа и $270$ мг через три. Прибавки равны соответственно $40$ , $60$ и $90$ мг, поэтому рост не линейный.

График N=80·(3/2)^t ограничен первыми тремя часами и проходит через значения 80,120,180,270 миллиграммов. — Рис. 2. Постоянный множитель создаёт разные прибавки; область модели показана явно.

Непрерывное правило между целыми часами — часть принятой модели, а не следствие четырёх измерений. Если процесс происходит только отдельными шагами, нужно оставить дискретные точки. Реальный запас вещества, среда или изменение условий могут ограничить время применимости: формула не обещает бесконечный рост реального объекта.

Особые основания

Основание $1$ дало бы постоянную функцию со значением $1$ , а не растущую или убывающую показательную функцию в указанном определении. Основание $0$ нельзя использовать на всей действительной прямой: нулевой и отрицательные показатели не определены. Отрицательное основание тоже не даёт действительную степень при любом действительном показателе. Эти ограничения входят в само задание семейства, а не добавляются после построения графика.