Неравномерное движение и средняя скорость

Зачем нужна средняя скорость

В реальном движении скорость почти всегда меняется: автобус разгоняется, стоит на остановке и тормозит перед перекрёстком. Одного закона равномерного прямолинейного движения для всего пути уже недостаточно, но движение всё ещё можно охарактеризовать за выбранный интервал. Для этого используют средние величины, которые описывают итог, не утверждая, что тело двигалось так в каждый момент.

Средняя путевая скорость равна отношению всего пути ко всему времени от начала до конца наблюдения:

$$\bar{v}=\frac{L_{\text{общ}}}{\Delta t_{\text{общ}}}$$

Время остановок входит в знаменатель, даже если путь во время стоянки не увеличивался. Поэтому средняя скорость поездки «от двери до двери» обычно меньше скорости автомобиля на свободном участке дороги. Она не может превышать наибольшую мгновенную скорость и не может быть меньше наименьшей, если речь идёт только о положительных модулях скорости без остановок.

Две одинаковые длины пути: медленный участок длится больше и сильнее влияет на среднюю скорость.

Путь и перемещение дают разные средние

Поскольку путь и перемещение — разные величины, существуют и две разные средние скорости. Средняя путевая скорость $\bar{v}$ является скаляром и использует длину траектории. Средняя скорость по перемещению является вектором:

$${\vec{v}}_{\text{ср}}=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$$

Спортсмен, пробежавший круг длиной $400\text{м}$ за $80\text{с}$, имеет среднюю путевую скорость $5\text{м/с}$. Но он вернулся к началу, поэтому его перемещение и средняя скорость по перемещению равны нулю. В задачах формулировка «средняя скорость» иногда используется для путевой величины; смысл нужно определять по тому, делят ли путь или перемещение.

Движение по участкам

Основная формула остаётся одной и той же независимо от числа участков. Сначала для каждого участка находят путь $L_i=v_i{t}_i$ или время $t_i=L_i/v_i$, затем складывают все пути и все времена. Усреднять сами значения $v_i$ можно лишь в особых случаях.

Если тело двигалось равные промежутки времени со скоростями $v_1$ и $v_2$, пути равны $v_{1}t$ и $v_{2}t$. Тогда средняя путевая скорость действительно совпадает со средним арифметическим:

$$\bar{v}=\frac{v_1+v_2}{2}$$

Если же равны не времена, а пройденные расстояния, медленный участок длится дольше и сильнее влияет на результат. Для двух равных по длине участков получается:

$$\bar{v}=\frac{2v_1{v}_2}{v_1+v_2}$$

Например, половину пути автомобиль прошёл со скоростью $60\text{км/ч}$, а половину — со скоростью $40\text{км/ч}$. Средняя скорость равна $48\text{км/ч}$, а не $50\text{км/ч}$, потому что на медленной половине автомобиль находился дольше. Для неравных участков безопаснее каждый раз возвращаться к отношению общего пути к общему времени.

Мгновенная скорость

Средняя величина зависит от выбранного интервала. Если измерять перемещение за всё более короткие промежутки около момента $t$, средняя скорость приближается к мгновенной скорости. На языке графиков она связана с наклоном касательной к зависимости координаты от времени; на практике её приближённо измеряют по очень малому перемещению за очень малое время.

Мгновенная скорость может заметно отличаться от средней. Автомобиль способен на короткое время двигаться со скоростью $90\text{км/ч}$, хотя средняя скорость всей поездки с остановками составляет $45\text{км/ч}$. Чем сильнее меняется движение внутри интервала, тем меньше средняя скорость рассказывает о конкретных моментах.

Пример поездки с остановкой

Велосипедист ехал $40$ минут со скоростью $18\text{км/ч}$, отдыхал $20$ минут, затем ещё $30$ минут ехал со скоростью $12\text{км/ч}$. На первом участке он прошёл $12\text{км}$, на втором движущемся участке — $6\text{км}$. Полное время от старта до финиша равно $1,5\text{ч}$, поэтому:

$$\bar{v}=\frac{12+6}{1,5}=12\text{км/ч}$$

Если исключить отдых, получится характеристика только времени в движении, но это будет уже другой вопрос. Внимательное определение начала и конца интервала столь же важно, как сама формула: средняя скорость всегда относится к конкретному процессу наблюдения.

В эксперименте с равноускоренным движением сравните перемещения за равные интервалы. Обсудите, почему средняя скорость за выбранный промежуток не обязана совпадать со скоростью в начале или конце.