Движение по окружности

Скорость меняется даже при постоянном модуле

При движении по окружности радиус-вектор поворачивается, а мгновенная скорость в каждой точке направлена по касательной. Даже если спидометр показывает постоянное значение, вектор скорости меняется из-за изменения направления. Следовательно, такое движение имеет ускорение — это прямое следствие векторной природы скорости.

Полный оборот соответствует углу $2\pi$ радиан и пути $2\pi R$. Равномерное движение по окружности — движение, при котором тело за равные промежутки времени поворачивается на равные углы. Слово «равномерное» здесь означает постоянный модуль скорости, а не нулевое ускорение.

В точке справа на окружности скорость направлена вверх по касательной, а центростремительное ускорение — влево к центру.

Период, частота и угловая скорость

Период $T$ — время одного оборота, а частота $\nu$ — число оборотов в единицу времени. Эти величины взаимно обратны:

$$\nu =\frac{1}{T}$$

Угловая скорость показывает, на какой угол поворачивается радиус-вектор за единицу времени. Для равномерного движения она постоянна и связана с периодом и частотой:

$$\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi \nu$$

Частоту измеряют в герцах, то есть в оборотах в секунду, а угловую скорость — в радианах в секунду. Поэтому численно они отличаются в $2\pi$ раз. Все точки жёстко вращающегося диска имеют одинаковые $T$, $\nu$ и $\omega$, поскольку поворачиваются на один угол за одно время.

Линейная скорость

За один оборот точка проходит путь $2\pi R$, поэтому модуль её линейной скорости равен:

$$v=\frac{2\pi R}{T}=\omega R$$

В отличие от угловой скорости, линейная скорость зависит от расстояния до оси. Точка у края диска за то же время проходит больший путь, чем точка около центра, и потому движется быстрее. Направление $\vec{v}$ непрерывно меняется и в каждый момент совпадает с касательной, проведённой в сторону движения.

Угол поворота при постоянной угловой скорости подчиняется закону $\phi ={\phi }_0+\omega t$. Он похож на закон координаты при прямолинейном равномерном движении: роль координаты играет угол, а роль линейной скорости — угловая. При вычислении длины дуги используют связь $L=R|\Delta \phi |$, где угол выражен в радианах.

Ускорение к центру

За малое время два вектора скорости одинакового модуля успевают повернуться на небольшой угол. Их разность направлена внутрь окружности; в пределе ускорение оказывается перпендикулярным скорости и направленным к центру. Его называют нормальным, или центростремительным:

$$a_n=\frac{v^2}{R}={\omega }^{2}R$$

Это ускорение изменяет направление скорости, но не её модуль. Чем быстрее движется тело и чем меньше радиус поворота, тем больше $a_n$. Если скорость увеличить вдвое при прежнем радиусе, центростремительное ускорение возрастёт в четыре раза.

Центростремительное ускорение — не отдельная причина движения и не новая сила; это кинематическая характеристика того, как поворачивается вектор скорости. Какие реальные взаимодействия обеспечивают такое ускорение, выясняется уже в динамике. В кинематике достаточно установить его величину и направление.

Когда модуль скорости тоже меняется

При неравномерном движении по окружности появляется тангенциальное ускорение $a_{\tau }$, направленное по касательной или против неё. Оно изменяет модуль скорости, тогда как $a_n$ продолжает отвечать за направление. Эти составляющие перпендикулярны, поэтому модуль полного ускорения равен:

$$a=\sqrt{a_n^2+a_{\tau }^2}$$

Если угловая скорость меняется, вводят угловое ускорение $\epsilon =\Delta \omega /\Delta t$, а тангенциальное ускорение связано с ним равенством $a_{\tau }=\epsilon R$. Знаки выбирают относительно заранее заданного положительного направления вращения. Как и в прямолинейном равноускоренном движении, знак ускорения сам по себе не сообщает, разгоняется точка или тормозит: его нужно сравнить со знаком скорости.

Например, колесо радиуса $0,30\text{м}$ делает $2$ оборота в секунду. Его угловая скорость равна $4\pi \text{рад/с}$, скорость точки на ободе — $1,2\pi \text{м/с}$, а центростремительное ускорение — $4,8{\pi }^2{\text{м/с}}^2$. У точек ближе к оси обе последние величины меньше, хотя число оборотов в секунду остаётся тем же.