Относительность движения

Относительно чего движется тело

Координата, траектория, перемещение и скорость имеют смысл только после выбора системы отсчёта. Относительность движения — зависимость кинематических характеристик тела от выбранной системы отсчёта. Это было заложено уже в первом описании механического движения: пассажир покоится относительно вагона, но движется относительно платформы. Никакого противоречия нет, потому что утверждения относятся к разным наблюдателям.

Путь тоже зависит от системы отсчёта. Для сидящего пассажира его путь относительно вагона равен нулю, а относительно Земли за то же время равен пути поезда. Траектория точки на ободе катящегося колеса относительно оси является окружностью, а относительно дороги — циклоидой. Поэтому в условии и ответе полезно явно указывать, относительно какого тела заданы величины.

Человек идёт вперёд в вагоне. Скорость человека относительно вагона складывается со скоростью вагона относительно земли.

Переход между системами отсчёта

Рассмотрим систему $K^{\prime }$, которая движется относительно системы $K$ с постоянной скоростью $\vec{u}$. Если начала координат совпадали при $t=0$, радиус-векторы одной и той же точки связаны преобразованием Галилея:

$$\vec{r}=\vec{r}{}^{\prime }+\vec{u}t$$

Здесь $\vec{r}{}^{\prime }$ задаёт положение тела относительно подвижной системы, а $\vec{u}t$ — перемещение самой системы $K^{\prime }$ относительно $K$. При другом начальном взаимном положении к правой части добавляют постоянный вектор. Время в классической механике считают одинаковым для обеих систем.

Разделив изменение координат на один и тот же интервал времени, получаем правило сложения скоростей:

$$\vec{v}=\vec{v}{}^{\prime }+\vec{u}$$

Индексы или словесные подписи здесь важнее самой короткой формулы. Скорость тела относительно Земли равна скорости тела относительно подвижной системы плюс скорости этой системы относительно Земли. Если требуется обратный переход, скорость системы вычитают.

Движение вдоль одной прямой

Пусть поезд движется относительно Земли со скоростью $20\text{м/с}$, а человек идёт по вагону вперёд со скоростью $1,5\text{м/с}$ относительно поезда. При положительной оси по ходу состава скорость человека относительно Земли равна $21,5\text{м/с}$. Если человек идёт назад, его скорость относительно вагона имеет знак минус, и результат равен $18,5\text{м/с}$.

Для двух тел на одной прямой удобно находить относительную скорость. Скорость первого тела относительно второго равна:

$$v_{1/2}=v_{1/\text{З}}-v_{2/\text{З}}$$

При движении навстречу проекции имеют разные знаки, поэтому модуль относительной скорости равен сумме модулей. При движении в одну сторону он равен модулю разности. Это тот же результат, который дают уравнения встречи из темы о равномерном движении, но переход в систему одного из тел часто делает рассуждение короче.

Движение в плоскости

В плоскости скорости складывают как векторы, а не как их модули. Лодка, направленная поперёк реки, имеет скорость ${\vec{v}}_{\text{л/в}}$ относительно воды; течение имеет скорость ${\vec{v}}_{\text{в/б}}$ относительно берега. Скорость лодки относительно берега равна:

$${\vec{v}}_{\text{л/б}}={\vec{v}}_{\text{л/в}}+{\vec{v}}_{\text{в/б}}$$

Если эти векторы перпендикулярны, модуль результирующей скорости находят по теореме Пифагора, но лодку снесёт вниз по течению. Чтобы попасть точно напротив старта, нос лодки направляют против течения так, чтобы продольная проекция её скорости относительно воды компенсировала скорость течения. Время переправы затем определяет поперечная проекция скорости.

Так же можно рассматривать капли дождя из движущегося автомобиля или полёт тела с платформы. Разложение на независимые направления напоминает движение под углом к горизонту, однако здесь складываются скорости разных систем отсчёта, а не горизонтальная и вертикальная части одного вектора в одной системе.

Инерциальные системы и границы модели

Если одна система отсчёта инерциальна, то любая система, движущаяся относительно неё равномерно и прямолинейно, тоже инерциальна. Одного взаимного покоя двух систем недостаточно: обе могут ускоряться относительно свободных тел. Если $\vec{u}$ постоянно, ускорения тела в $K$ и $K^{\prime }$ одинаковы: постоянная скорость системы исчезает при вычислении изменения скорости. Такие системы называют инерциальными; подробно их роль раскрывается при изучении законов Ньютона.

Ускоряющаяся или вращающаяся система не является инерциальной. Пассажир разгоняющегося автобуса ощущает особенности такого описания, а наблюдатель на вращающейся карусели видит эффекты, которых нет в неподвижной системе без введения дополнительных инерционных сил. Выбирать систему всё равно можно любую, но уравнения должны соответствовать её характеру.

Преобразования Галилея и обычное сложение скоростей применимы, когда скорости намного меньше скорости света. В школьных задачах о транспорте, течениях и ветре это условие выполняется с огромным запасом. Главная практическая привычка остаётся простой: подписывать обе стороны каждой скорости и складывать векторы, а не неуточнённые числа.