Движение в двух измерениях: движение под углом к горизонту

Автор курса · Команда Небулс

Одна траектория, два движения

Полёт брошенного тела выглядит криволинейным, однако его удобно разложить на два независимых движения по взаимно перпендикулярным осям. Баллистическое движение — движение тела после броска под действием только силы тяжести в модели без сопротивления воздуха. Такое разложение использует проекции векторов: по горизонтали тело движется равномерно, а по вертикали — с постоянным ускорением свободного падения. Время у этих движений общее, и вместе они образуют одну траекторию.

В школьной модели тело считают материальной точкой, поверхность Земли — горизонтальной, ускорение $g$ — постоянным, а сопротивлением воздуха пренебрегают. Ось $x$ направим горизонтально в сторону броска, ось $y$ — вверх. Если начальная скорость $v_{0}$ составляет угол $α$ с горизонтом, её проекции равны:

v_{0 x} = v_{0} cos α, v_{0 y} = v_{0} sin α

Горизонтальная проекция ускорения равна нулю, вертикальная — $- g$ . В верхней точке полёта обращается в ноль только $v_{y}$ ; горизонтальная скорость сохраняется, поэтому тело не останавливается на траектории.

Параболическая траектория. Скорость касательна, в вершине горизонтальна; во всех показанных точках ускорение направлено вниз.

Уравнения движения

Пусть при $t = 0$ тело находится в точке $(x_{0}, y_{0})$ . Законы движения по осям следуют из уже известных одномерных моделей:

x (t) = x_{0} + v_{0} cos α t

y (t) = y_{0} + v_{0} sin α t - \frac{g t ^{2}}{2}

Проекции скорости в тот же момент равны $v_{x} = v_{0} cos α$ и $v_{y} = v_{0} sin α - g t$ . Модуль скорости находят как $v = v_{x}^{2} + v_{y}^{2}$ , а её направление — из отношения $tan β = v_{y} / v_{x}$ . Эти уравнения важнее набора частных формул: они работают и при броске с высоты, и при горизонтальном броске, и при падении на уровень, отличный от начального.

Исключив время из двух координатных уравнений, получаем зависимость $y$ от $x$ :

y = y_{0} + (x - x_{0}) tan α - \frac{g ( x - x _{0} ) ^{2}}{2 v _{0}^{2} cos ^{2} α}

Это уравнение параболы с ветвями вниз. Реальная траектория заметно отклоняется от параболы, когда сопротивление воздуха существенно, тело вращается или расстояние настолько велико, что нельзя считать поле тяжести и поверхность Земли неизменными.

Полёт с возвращением на исходную высоту

Если точка падения находится на той же высоте, что и точка броска, движение по вертикали симметрично во времени. В вершине $v_{y} = 0$ , поэтому время подъёма равно $v_{0} sin α / g$ , а полное время полёта вдвое больше:

t_{п} = \frac{2 v _{0} sin α}{g}

Подставляя это время в горизонтальное уравнение, находим дальность и максимальную высоту над точкой броска:

L = \frac{v _{0}^{2} sin 2 α}{g}

H = \frac{v _{0}^{2} sin ^{2} α}{2 g}

При фиксированном $v_{0}$ дальность максимальна при $α = 4 5^{\circ}$ , потому что тогда $sin 2 α = 1$ . Это утверждение относится только к идеальной модели и одинаковым высотам старта и финиша. Если тело бросают с обрыва, время полёта увеличивается, а угол наибольшей дальности становится меньше $4 5^{\circ}$ .

Горизонтальный бросок с высоты

Горизонтальный бросок соответствует $α = 0$ : начальная вертикальная скорость равна нулю, а горизонтальная равна $v_{0}$ . Если высота над землёй равна $h$ , время падения определяется только вертикальным движением:

t_{п} = \frac{2 h}{g}

Дальность равна $L = v_{0} 2 h / g$ . Увеличение горизонтальной скорости не меняет время падения в принятой модели, но увеличивает дальность. Два тела, одновременно отпущенные с одной высоты без вертикальной начальной скорости, упадут одновременно, даже если одному из них сообщили горизонтальную скорость.

Как решать задачу о полёте

Сначала фиксируют начало координат и уровень, на котором закончится движение. Затем раскладывают начальную скорость на проекции и записывают два координатных уравнения с одним временем. Условие события переводят на язык координат: в вершине $v_{y} = 0$ , при падении на землю $y = 0$ , при попадании в цель одновременно выполняются заданные $x$ и $y$ .

Графический смысл решения можно сверить с графиками движения. По горизонтали $x (t)$ — прямая и $v_{x} (t)$ — горизонтальная линия; по вертикали $y (t)$ — парабола, $v_{y} (t)$ — убывающая прямая, а $a_{y} (t) = - g$ . Если полученное время отрицательно или выбранный корень квадратного уравнения относится к моменту до броска, такой корень не описывает рассматриваемый полёт.

Подготавливаем формулы…